第一次數學危機

從某種意義上來講，現代意義下的數學，也就是作為演繹系統的純粹數學，來源予古希臘畢達哥拉斯學派。它是一個唯心主義學派，興旺的時期為公元前500年左右。他們認為，“萬物皆數”(指整數)，數學的知識是可靠的、準確的，而且可以應用於現實的世界，數學的知識由於純粹的思維而獲得，不需要觀察、直覺和日常經驗。

整數是在對於對象的有限整合進行計算的過程中產生的抽象概念。日常生活中，不僅要計算單個的對象，還要度量各種量，例如長度、重量和時間。為了滿足這些簡單的度量需要，就要用到分數。於是，如果定義有理數為兩個整數的商，那麼由於有理數系包括所有的整數和分數，所以對於進行實際量度是足夠的。

有理數有一種簡單的幾何解釋。在一條水平直線上，標出一段線段作為單位長，如果令它的定端點和右端點分別表示數0和1，則可用這條直線上的間隔為單位長的點的集合來表示整數，正整數在0的右邊，負整數在0的左邊。以q為分母的分數，可以用每一單位間隔分為q等分的點表示。於是，每一個有理數都對應著直線上的一個點。

古代數學家認為，這樣能把直線上所有的點用完。但是，大約在公元前5世紀，畢達哥拉斯學派的希帕索斯發現了：等腰直角三角形的直角邊與其斜邊不可通約。新發現的數由於和之前的所謂“合理存在的數”——即有理數在學派內部形成了對立，所以被稱作了無理數。希帕索斯正是因為這一數學發現，而被畢達哥拉斯學派的人投進了大海，處以“淹死”的懲罰。

直角三角形的直角邊與其斜邊不可通約，這個簡單的數學事實的發現使畢達哥拉斯學派的人感到迷惑不解。它不僅違背了畢達哥拉斯派的信條，而且衝擊著當時希臘人持有的“一切量都可以用有理數表示”的信仰。所以，通常人們就把希帕索斯發現的這個矛盾，叫做希帕索斯悖論。

不過存在另外一種說法稱，據說, 正五邊形的邊與對角線之比 是最先被發現的無理數。

古希臘著名哲學家芝諾（約公元前490年~前425年）曾提出四條著名的悖論，也被如今的數學史界認定為引發第一次數學危機的重要誘因之一。

第一，“二分法”。

運動著的東西在到達目的地之前須先完成行程的一半，而在完成行程的一半后，還須完成行程的一半的一半……如此分割，乃至無窮，因而它與目的地之間的距離是無限的，永遠也達不到目的地。

第二，“阿基里斯永遠追不上烏龜”。

阿基里斯是希臘跑得最快的英雄，而烏龜則爬得最慢。但是芝諾卻證明，在賽跑中最快的永遠趕不上最慢的，因為追趕者與被追趕者同時開始運動，而追趕者必須首先到達被追趕者起步的那一點，如此類推，他們之間存在著無限的距離，所以被追趕者必定永遠領先。

第三，“飛矢不動”。

任何物體都要佔有一定的空間，離開自己的空間就意味著失去了它的存在。飛矢通過一段路程的時間可被分成無數瞬間，在每一瞬間，飛矢都佔據著一個與自己大小相同的空間，由於飛矢始終在自己的空間之中，因而它是靜止不動的。

第四，“運動場”。

有兩排物體，大小相同，數目相等，一排從終點排到中間點，另一排從中間點排到起點，當它們以相同的速度作方向相反的運動時，就會在時間上出現矛盾。芝諾認為這可以證明一半的時間等於一倍的時間。

以上四條悖論從根本上挑戰了畢達哥拉斯學派所一直貫徹的度量和計算方式。

約在公元前370年，柏拉圖的學生攸多克薩斯(Eudoxus，約公元前408—前355)解決了關於無理數的問題。他純粹用公理化方法創立了新的比例理論，微妙地處理了可公度和不可公度。他處理不可公度的辦法，被歐幾里得《幾何原本》第二卷（比例論）收錄。並且和狄德金於1872年繪出的無理數的現代解釋基本一致。21世紀后的中國中學幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微妙之處。

芝諾的四條悖論在後來被亞里士多德等人成功解釋完畢。

第一條悖論：伯內特解釋了芝諾的“二分法”：即不可能在有限的時間內通過無限多個點，在你走完全程之前必須先走過給定距離的一半，為此又必須走過一半的一半，等等，直至無窮。亞里士多德批評芝諾在這裡犯了錯誤：“他主張一個事物不可能在有限的時間裡通過無限的事物，或者分別地和無限的事物相接觸，須知長度和時間被說成是“無限的”有兩種涵義。一般地說，一切連續事物被說成是“無限的”都有兩種涵義：或分起來的無限，或延伸上的無限。因此，一方面，事物在有限的時間裡不能和數量上無限的事物相接觸；另一方面，卻能和分起來無限的事物相接觸，因為時間本身分起來也是無限的。因此，通過一個無限的事物是在無限的時間裡而不是在有限的時間裡進行的，和無限的事物接觸是在無限數的而不是在有限數的範圍上進行的。

第二條悖論：亞里士多德指出這個論證和前面的二分法是一回事，這個論證得到的結論是：跑得慢的人不可能被趕上。因此，對這個論證的解決方法也必然是同一個方法，認為在運動中領先的東西不能被追上這個想法是錯誤的，因為在它領先的時間內是不能被趕上的，但是，如果芝諾允許它能越過所規定的有限的距離的話，那麼它也是可以被趕上的。

第三條悖論：亞里士多德認為芝諾的這個說法是錯誤的，因為時間不是由不可分的‘現在’組成的，正如別的任何量都不是由不可分的部分組合成的那樣。亞里士多德認為，這個結論是因為把時間當作是由‘現在’組成的而引起的，如果不肯定這個前提，這個結論是不會出現的。

第四條悖論：亞里士多德認為，這裡錯誤在於他把一個運動物體經過另一運動物體所花的時間，看做等同於以相同速度經過相同大小的靜止物體所花的時間，事實上這兩者是不相等的。

第一次數學危機表明，幾何學的某些真理與算術無關，幾何量不能完全由整數及其比來表示。反之，數卻可以由幾何量表示出來。整數的尊崇地位受到挑戰，古希臘的數學觀點受到極大的衝擊。於是，幾何學開始在希臘數學中佔有特殊地位。同時也反映出，直覺和經驗不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開始從“自明的”公理出發，經過演繹推理，並由此建立幾何學體系。這是數學思想上的一次革命，是第一次數學危機的自然產物。

回顧在此以前的各種數學，無非都是“算”，也就是提供演演算法。即使在古希臘，數學也是從實際出發，應用到實際問題中去的。例如，泰勒斯預測日食、利用影子計算金字塔高度、測量船隻離岸距離等等，都是屬於計算技術範圍的。至於埃及、巴比倫、中國、印度等國的數學，並沒有經歷過這樣的危機和革命，也就繼續走著以算為主，以用為主的道路。而由於第一次數學危機的發生和解決，希臘數學則走上完全不同的發展道路，形成了歐幾里得《原本》的公理體系與亞里士多德的邏輯體系，為世界數學作出了另一種傑出的貢獻。據史籍記載，古代的希臘和中國，很早就發現了無理數。然而東西方卻通過不同的途徑來認識和發展無理數的理論：希臘人著眼於幾何量的長度關係，從線段不可公度的幾何角度入手，用邏輯方法進行探討；中國人著重滿足實際應用的數的運算，從開方不盡的計算過程入手，通過計算方式來認識並建立其法則。

但是，自此以後希臘人把幾何看成了全部數學的基礎，把數的研究隸屬於形的研究，割裂了它們之間的密切關係。這樣做的最大不幸是放棄了對無理數本身的研究，使算術和代數的發展受到很大的限制，基本理論十分薄溺。這種畸形發展的局面在歐洲持續了2000多年。