正規擴張

正規擴張的定義不止一種，以下三個準則都可以刻畫正規擴張，是三個等價的定義。域擴張是正規擴張當且僅當它滿足以下三個等價條件中任意一個：

L是多項式環中的某一族多項式的分裂域。

設K是一個包含了L的K的代數閉包。對於L在K上的每一個嵌入σ，只要它限制在K上的部分是平凡的（即為恆等映射：），那麼就有。換句話說，L在K上的每一個K-嵌入σ都是一個L上的K-自同構。

任意一個K[X]上的不可約多項式，只要它在L中有一個根，那麼就可以在L[X]分解成一次因式的乘積（或者說全部的根都在L中）。

是的一個正規擴張，因為它是上的多項式的分裂域。然而，並不是的一個正規擴張，因為上的不可約多項式有一個根：在裡面，但它的另外兩個根：和都是複數，不在裡面。只有在加入了三次單位根：后的擴域才是一個正規擴張。

也可以用正規擴張的第二個定義來證明不是的正規擴張。設域是由所有復代數數生成的擴域，則是的一個代數閉包，並且在裡面。另一方面，

並且，如果記是的復根之一，那麼映射：

是在上的一個嵌入，並且它限制在上的部分是平凡的（將中元素映射到自己）。但是σ並不是上的自同構。

更一般地，對每一個素數p，域擴張都是的一個正規擴張，擴張的次數是。是上的多項式的分裂域。其中的是任意一個複數p次單位根。

設有域擴張，那麼：

1) 如果L是K的正規擴張，並且F是一個子擴張（也就是說有擴張）那麼L也是F的正規擴張。

2) 如果L的子域E和F都是K的正規擴張，那麼兩者的複合擴張EF（指L的子域中同時包含E和F的最小者）以及兩者的交也都是K的正規擴張。

設有域擴張，那麼總存在域擴張，使得是正規擴張。在同構意義上，最小的這樣的擴張是唯一。即是說，其他的域擴張N/L如果使得是正規擴張，那麼總存在的子擴張，使得M'同構於M。這個唯一的“最小”正規擴張稱為域擴張的 正規閉包。

如果是有限擴張，那麼它的正規閉包也是有限擴張（因此也是有限擴張）。