對頂角

兩個角之間的一種位置關係

對頂角(vertical angles,opposite angles)即如果一個角的兩邊分別是另一個角兩邊的反向延長線,且這兩個角有公共頂點,那麼這兩個角是對頂角·對頂角的範圍介於0度到180度之間,0度和180度不算在內。對頂角是具有特殊位置的兩個角,對頂角相等反映的是兩個角之間的大小關係。

定義


幾何學中,對頂角是兩個角之間的一種位置關係。兩條直線相交時會產生一個交點,併產生以這個交點為頂點的四個角。稱其中不相鄰的兩個角互為對頂角。或者說,其中的一個角是另一個的對頂角。
對頂角滿足下列定理:兩直線相交,對頂角相等。
數學語言描述就是:
● 設直線AD、BC交於點O。則形成四個角:∠AOB、∠COD、∠AOC、∠BOD。其中,∠AOB和∠COD互為對頂角,∠AOC和∠BOD互為對頂角。,。

例子


如圖1,兩條直線相交,構成兩對對頂角。∠1與∠3為一對對頂角,∠2與∠4為一對對頂角。
注意:
1.對頂角一定相等,但是相等的角不一定是對頂角。
2.對頂角必須有共同頂點。
3.對頂角是成對出現的。
證明過程中使用對頂角的性質時,以圖1為例,
,(對頂角相等)。

巧算對頂角


任何兩條直線可以看成一個組合,這樣的組合有,每個組合有兩對對頂角,因此n條直線相交於一點,共有對。即:
2條直線相交於一點,有(2)對不同的對頂角;
3條直線相交於一點,有(6)對不同的對頂角;
4條直線相交於一點,有(12)對不同的對頂角;
..............
n條直線相交於一點,有對不同的對頂角。

性質


如果兩個角是對頂角,那麼這兩個角相等。
在同一平面內,互為對頂角的兩個角相等。

歷史


勒斯生於希臘,是一位擅長於幾何學的數學家及哲學家。他一生髮現了多個幾何學定理,包括等腰三角形中的“等邊對等角”定理,也包括對頂角定理。

對頂角定理


設直線AD、BC交於點O,那麼,∠AOB和∠AOC互為鄰補角。根據鄰補角的性質,
其中是一個平角的弧度數。
類似地,∠COD和∠AOC互為鄰補角。根據鄰補角的性質,
因此,
兩邊減去相同的角度后,就得到。
同樣地,可以證明。

用途


對頂角通常用於測量角度以及證明全等三角形。以下是一個利用對頂角證明全等三角形的例子:
如右圖,已知,。求證:。
證明:在ABE與DCE中,
因此,。
在以上證明中,的結論就是通過對頂角定理得出的。注意,在一般的幾何證明中,對頂角定理並不需要顯式地敘述出來,可以當作是默認的條件。