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自由度

統計學的自由度

在統計學中,自由度(degree of freedom, df)指的是計算某一統計量時,取值不受限制的變數個數。通常df=n-k。其中n為樣本數量,k為被限制的條件數或變數個數,或計算某一統計量時用到其它獨立統計量的個數。自由度通常用於抽樣分佈中。

定義


統計學上,自由度是指當以樣本的統計量來估計總體的參數時,樣本中獨立或能自由變化的數據的個數,稱為該統計量的自由度。一般來說,自由度等於獨立變數減掉其衍生量數。舉例來說,變異數的定義是樣本減平均值(一個由樣本決定的衍生量),因此對N個隨機樣本而言,其自由度為。
數學上,自由度是一個隨機向量的維度數,也就是一個向量能被完整描述所需的最少單位向量數。舉例來說,從電腦屏幕到廚房的位移能夠用三維向量 來描述,因此這個位移向量的自由度是3。自由度也通常與這些向量的座標平方和,以及卡方分佈中的參數有所關聯。

應用


1.若存在兩個變數、 ,而 那麼他的自由度為1。因為其實只有 才能真正的自由變化,會被 選值的不同所限制。
2.估計總體的平均數( )時,由於樣本中的個數都是相互獨立的,任一個尚未抽出的數都不受已抽出任何數值的影響,所以自由度為。
3.估計總體的方差( )時所使用的統計量是樣本的方差,而 必須用到樣本平均數 來計算。在抽樣完成後已確定,所以大小為 的樣本中只要 個數確定了,第 個數就只有一個能使樣本符合 的數值。也就是說,樣本中只有 個數可以自由變化,只要確定了這 個數,方差也就確定了。這裡,平均數 就相當於一個限制條件,由於加了這個限制條件,樣本方差的自由度為。
4.統計模型的自由度等於可自由取值的自變數的個數。如在回歸方程中,如果共有 個參數需要估計,則其中包括了 個自變數(與截距對應的自變數是常量)。因此該回歸方程的自由度為。
5.在一個包含個個體的總體中,平均數為。知道了個個體時,剩下的一個個體不可以隨意變化。為什麼總體方差計算,是除以而不是呢?方差是實際值與期望值之差平方的期望值,所以已知道總體均值或其他統計參數時方差應除以,除以時是方差的一個無偏估計

範例


例1

有一個有4個數據( )的樣本,其平均值等於5,即受到 的條件限制,在自由確定三個數據后,第四個數據只能是9,否則。因而這裡的自由度。推而廣之,任何統計量的自由度(k為限制條件的個數)。

例2

如果用刀剖柚子,在北極點沿經線方向割3刀,得6個角。這6個角可視為3對。6個角的平均角度一定是60度。其中半邊3個角中,只會有2個可以自由選擇,一旦2個數值確定第3個角也會唯一地確定。在總和已知的情況下,切分角的個數比能夠自由切分的個數大1。