古今數學思想

M·克萊因（Morris·Kline，莫里斯·克萊因，1908.5.1—1992.5.10），美國數學史家、數學教育家與應用數學家，數學哲學家，應用物理學家。生於美國紐約市布魯克林。1930年，他以優異的成績畢業於紐約大學，隨之攻讀碩士學位，並於1932年獲碩士學位，1936年獲得博士學位。獲博士學位后，他1936年至1938年在普林斯頓高等研究院研究拓撲學，1938年回紐約大學任文理學院教授，並在著名數學家庫朗指導下研究應用數學。二戰期間，M·克萊因作為一個物理學家任職於位於美國新澤西州的Belmar的美國陸軍通信部隊，他所工作的工程實驗室曾發明雷達。戰爭結束后，他繼續在那裡研究電磁學。由於他在應用數學的研究上取得重要成就，1946年起他擔任庫朗研究所電磁理論研究室主任達20年之久，並於1952年獲得正教授職位。從1959年起，他還擔任紐約布魯克林大學文理學院數學系主任，直到1970年退休。他擔任紐約大學研究生數學教學委員會主席11年。1976年他被紐約布魯克林大學任命為榮譽教授。

他擁有無線電工程方面的多項發明專利，是《數學雜誌》、《精密科學史檔案》兩家刊物的編委。其代表作《西方文化中的數學》、《古今數學思想》不僅在科學界，在整個學術文化界都廣泛、持久的影響。1992年5月10日病逝於紐約，終年84歲。

第一冊的內容有美索不達米亞的數學、埃及的數學、古典希臘數學的產生等。

第二冊的內容有坐標幾何；科學的數學化；微積分的創立；17世紀的數學；18世紀的微積分；無窮級數等內容。

第三冊全面論述了近代數學大部分分支的歷史發展，著重論述了數學思想的古往今來，說明了數學的意義、以及各門數學之間以及數學和其他自然科學的關係。

第四冊的內容包括實數和超限數的基礎、幾何基礎、19世紀的數學、實變函數論、積分方程、發散級數、抽象代數的出現、張量分析和微分幾何、數學基礎等。

本書論述了從古代一直到20世紀頭幾十年中的重大數學創造和發展，目的是介紹中心思想，特別著重於那些在數學歷史的主要時期中逐漸冒出來並成為最突出的、並且對於促進和形成爾後的數學活動有影響的主流工作。

本書所極度關心的還有：對數學本身的看法，不同時期中這種看法的改變，以及數學家對於他們自己的成就的理解。

本書的一些篇章只提出所涉及的領域中已經創造出來的數學的一些樣本，可是我堅信這些樣本最具有代表性。再者，為著把注意力始終集中於主要的思想，我引用定理或結果時，常常略去嚴格準確性所需要的次要條件。本書當然有它的局限性，作者相信它已給出整個歷史的一種概貌。

本書的組織著重在居領導地位的數學課題，而不是數學家，數學的每一分支打上了它的奠基者的烙印，並且傑出的人物在確定數學的進程方面起決定作用。

什麼才是數學思想權威性的歷史……大概，這就是我們現有數學史的最全面描述。

——《星期六評論》

很高興看到這樣一本出自一位仍然活躍的數學家之手的完全、專業的巨著。

——《波士頓環球報》

《古今數學思想》(第三冊)(Mathematical Thought form Ancient to Modern Times. 3)從規模和細節上講，莫里斯·克萊因的作品是無可匹敵的。

——《時代文學增刊》

第1章：美索不達米亞的數學

1.數學是在哪裡開始出現的

2.美索不達米亞的政治史

3.數的記號

4.算術運算

5.巴比倫的代數

6.巴比倫的幾何

7.巴比倫人對於數學的使用

8.對巴比倫數學的評價

第2章：埃及的數學

1.背景

2.算術

3.代數與幾何

4.埃及人對數學的使用

5.總結

第3章：古典希臘數學的產生

1.背景

2.史料的來源

3.古典時期的幾大學派

4.愛奧尼亞（Ionian）學派

5.Pythagoras派

6.埃利亞（Eleatic）學派

7.詭辯（Sophist）學派

8.Plato學派

9.Eudoxus學派

10.Aristotle及其學派

第4章：Euclid和Apollonius

1.引言

2.Euclid《原本》的背景

3.《原本》里的定義和公理

4.《原本》的第一篇到第四篇

5.第五篇：比例論

6.第六篇：相似形

7.第七、八、九篇：數論

8.第十篇：不可公度量的分類

9.第十一、十二、十三篇：立體幾何及窮竭法

10.《原本》的優缺點

11.Euclid的其他數學著作

12.Apollonius的數學著作

第5章：希臘亞歷山大時期：幾何與三角

1.亞歷山大城的建立

2.亞歷山大希臘數學的特性

3.Archimedes關於面積和體積的工作

4.Heron關於面積和體積的工作

5.一些特殊曲線

6.三角術的創立

7.亞歷山大後期的幾何工作

第6章：亞歷山大時期：算術和代數的復興

1.希臘算術的記號和運算

2.算術和代數作為一門獨立學科的發展

第7章：希臘人對自然形成理性觀點的過程

1.希臘數學受到的啟發

2.關於自然界的理性觀點的開始

3.數學設計信念的發展

4.希臘的數理天文學

5.地理學

……

第8章：希臘世界的衰替

第9章：印度和阿拉伯的數學

第10章：歐洲中世紀時期

第11章：文藝復興

第12章：文藝復興時期數學的貢獻

第13章：16、17世紀的算術和代數

第14章：射影幾何的肇始

第16章：科學的數學化

1.引言

2.Descartes的科學觀

3.Galileo的科學研究方式

4.函數概念

第17章：微積分的創立

1.促使微積分產生的因素

2.17世紀初期的微積分工作

3.Newton的工作

4.Leibniz的工作

5.Newton與Leibniz的工作的比較

6.優先權的爭論

7.微積分的一些直接增補

8.微積分的可靠性

第18章：17世紀的數學

1.數學的轉變

2.數學和科學

3.數學家之間的交流

4.展望18世紀

第19章：18世紀的微積分

1.引言

2.函數概念

3.積分技術與復量

4.橢圓積分

5.進一步的特殊函數

6.多元函數微積分

7.在微積分中提供嚴密性的嘗試

第20章：無窮級數

1.引言

2.無窮級數的早期工作

3.函數的展開

4.級數的妙用

5.三角級數

6.連分式

7.收斂與發散問題

第21章：18世紀的常微分方程

1.主題

2.一階常微分方程

3.奇解

4.二階方程與Riccati方程

5.高階方程

6.級數法

7.微分方程組

8.總結

第22章：18世紀的偏微分方程

第23章：18世紀的解析幾何和微分幾何

第24章：18世紀的變分法

第25章：18世紀的代數

第26章：18世紀的數學

第27章：單複變函數

1.引言

2.複函數論的開始

3.複數的幾何表示

4.複函數論的基礎

5.Weierstrass探討函數論的途徑

6.橢圓函數

7.超橢圓積分與Abel定理

8.Riemann與多值函數

9.Abel積分與Abel函數

10.保形映射

11.函數的表示與例外值

第28章：19世紀的偏微分方程

1.引言

2.熱方程與Fourier級數

3.封閉解；Fourier積分

4.位勢方程和Green定理

5.曲線坐標

6.波動方程和退化波動方程

7.偏微分方程組

8.存在性定理

第29章：19世紀的常微分方程

1.引言

2.級數解和特殊函數

3.Sturm—Liouville理論

4.存在定理

5.奇點理論

6.自守函數

7.Hill在線性方程周期解方面的工作

8.非線性微分方程：定性理論

第30章：19世紀的變分法

1.引言

2.數學物理和變分法

3.變分法本身的數學擴充

4.變分法中的有關問題

第31章：Galois理論

1.引言

2.二項方程

3.Abel關於用根式解方程的工作

4.Galois的可解性理論

5.幾何作圖問題

6.置換群理論

第32章：四元數，向量和線性結合代數

1.關於型的永恆性的代數基礎

2.三維“複數”的尋找

3.四元數的性質

4.Grassmann的擴張的演算

5.從四元數到向量

6.線性結合代數

第33章：行列式和矩陣

1.引言

2.行列式的一些新應用

3.行列式和二次型

4.矩陣

第34章：19世紀的數論

1.引言

……

第35章：射影幾何學的復興

第36章：非Euclid幾何

第37章：Gauss和Riemann的微分幾何

第38章：射影幾何與度量幾何

第39章：代數幾何

第40章：分析中注入嚴密性

1.引言

2.函數及其性質

3.導數

4.積分

5.無窮級數6.Fourier級數

7.分析的狀況

第41章：實數和超限數的基礎

1.引言

2.代數數與超越數

3.無理數的理論

4.有理數的理論

5.實數系的其他處理

6.無窮集合的概念

7.集合論的基礎

8.超限基數與超限序數

9.集合論在20世紀初的狀況

第42章：幾何基礎

1.Euclid中的缺陷

2.對射影幾何學基礎的貢獻

3.Euclid幾何的基礎

4.一些有關的基礎工作

5.一些未解決的問題

第43章：19世紀的數學

1.19世紀發展的主要特徵

2.公理化運動

3.作為人的創造物的數學

4.真理的喪失

5.作為研究任意結構的數學

6.相容性問題

7.向前的一瞥

第44章：實變函數論

1.起源

2.Stieltjes積分

3.有關容量和測度的早期工作

4.Lebesgue積分

5.推廣

第45章：積分方程

1.引言

2.一般理論的開始

3.Hilbert的工作

4.Hilbert的直接繼承者

5.理論的推廣

第46章：泛函分析

1.泛函分析的性質

2.泛函的理論

3.線性泛函分析

4.Hilbert空間的公理化

第47章：發散級數

1.引言

2.發散級數的非正式應用

3.漸近級數的正式理論

4.可和性

第48章：張量分析和微分幾何

1.張量分析的起源

……

第49章：抽象代數的出現

第50章：拓撲的開始

第51章：數學基礎

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