斜坡函數

斜坡函數

斜坡函數是一元實函數,因其圖像像斜坡而得名。斜坡函數在負半軸函數值為零,正半軸為形如y=At的正比例函數。A=1時,稱為單位斜坡函數。斜坡函數是系統動力學中經常用來研究系統模型及其反饋系統的有關信息的測試函數。

定義


斜坡函數 具有多種定義方式,以單位斜坡函數為例:
方程組:
最大值函數:
絕對值:
麥考利括弧:

解析性質


非負性
在定義域內函數值非負,因此絕對值等於自己,即
導數
導數是赫維賽德(Heaviside)階躍函數
單位斜坡函數的二階導數滿足
其中,為狄拉克δ函數(又名衝激函數)。這表明對任意二階可微的函數 應滿足
對單位斜坡信號來說,其傅里葉變換為
對單位斜坡信號來說,其拉普拉斯變換為

代數性質


迭代不變性
斜坡函數的每個迭代函數都是其自身:
證明:
此處應用到非零性質。

應用


自動控制中的一種典型輸入信號。