非線性力學

首先，經過200年的積累，通過對壓桿失穩、非線性振動和三體問題等典型非線性問題的研究，非線性力學已積累了相當的認識和理論。例如，龐加萊從三體問題的研究，已認識到在非線性系統中，一種我們覺察不到的起因可能產生一個顯著的、我們決不會看不到的結果。

其次，當時的工業和生產，已提出大量重大問題，迫切希望解決。一是飛行跨越聲障的問題，二是航空採用的薄壁構件的行為，三是新材料，如塑料、纖維等的出現和應用。這些需求都提出了大量的非線性力學問題。跨越聲障要了解激波，採用薄壁構件要解決大變形屈曲，使用新材料要遇到非線性物性。這些問題，往往與線性化了的問題有根本性質上的不同，因此，不論是處理工具還是基本概念都要靠拼搏，去開拓、創新。

因此，在本世紀上半葉的物理學革命的大潮中，看起來處於旁觀地位的力學，一方面開拓了航空等大型新興工業，另一方面，繼承著歐拉、龐加萊等人的傳統，率先向非線性領域突進了。當時，大概幾乎還沒有人意識到，這個突進，在本世紀後半葉竟發展成了超越牛頓開始的機械論、又超越當時的物理學革命家們開創的還原論的一種新的自然觀。

當前，社會和產業發展面臨的迫切問題，或許可以概括為：可持續發展、國家在世界經濟中的競爭力、重大工程壽命預測和自然災害預報等。如何解決這些問題，除了社會因素之外，大家或許會想到先進的信息、材料和生命科學技術。但是，如果稍加註意便會發現，問題主要涉及的是宏觀物質世界的運動，特別是它們的運動模式的變化。例如，我們之所以關心可持續發展戰略，一個重要原因，是不希望生存環境的負荷超過某個臨界狀態，以便我們能生存於良性循環之中。又如，構成國家競爭力的要素固然很多，但突破常規（可比擬為非線性外推）的硬軟體工程技術，卻依然是競爭力的核心。如在本世紀上半葉構成西方軍力、生產力重要部分的航空業，就曾密切依賴於上面引述過的聲障、薄壁件、新材料三方面的突破。因此，以宏觀物質的多層次運動為主要研究對象的非線性力學及其應用，將會對我們的社會發展和生產起很大的作用。

舉一些更具體的典型例子，也許會更形象。如：起飛重量為數百噸，機體尺寸為半個足球場大小的民航機，雖然乘客都能清楚看到機翼的明顯顫動和位移，但它卻在氣體中安全地飛行。反面的例子，如大跨度的橋樑，在風載下坍塌是時有所聞的。1940年全長1.6公里，列為當時世界第三的美國Tacoma大橋，在大風下激烈振蕩，坍塌。其原因就是設計師不了解風和大橋的非線性相互作用，只按靜載設計造成的。不幸的是，這類事故至今仍未能完全消除。美國一座數百米高的電視塔突然倒塌，就是一例。

面對未來，待解決的重要問題更多。重大工程，如水壩、機組運行了多年；或大型武器，如戰略武器貯備了多年，它們還能安全可靠運行多久？什麼時候到了臨界狀態，怎麼預先測知？再如，空天飛機等新型飛行器，面臨燃料在超聲速流動狀態下的混合和點火，對於流速超過了聲速的流動，混合規律是什麼呢？還有，對於自然災害頻繁的我國，我們能在多大的可靠程度上預報地震、颱風、洪水等重大自然災害，等等。這類社會和科學發展中的重大的、未解決的問題，不勝枚舉。

歸納各種各樣、大大小小的應用，典型化的非線性力學問題，或者可以舉以下典型問題為例：

1887年瑞典國王奧斯卡二世（OscarⅡ）懸賞2500克朗，徵求解答：太陽系是否是穩定的？例如某個星球是否會與太陽相撞。眾所周知，太陽系有九大行星，問題是十分複雜的。其中所含的基本問題是，三個質點在萬有引力作用下的運動，簡稱三體問題。其困難在於給定初始位置和速度，並不能像機械論判定的那樣，確定以後任意瞬時的位置與速度，從而確定是否二個質點會相撞等。

1744年歐拉研究過細桿在軸向力壓縮下的變形。該細桿在軸向力較小時保持軸向變形，但當軸向載荷超過某一臨界值后，壓桿變形傾向於其一側拱曲。這種現象被稱為壓桿屈曲或解的分叉。板、殼等一大類構件在受載時，均會發生這種偏離原對稱平衡位置的不對稱變形。因此，廣義上它是彈性系統穩定性的問題。它的特點和難點在於，從一個對稱平衡變形態中，怎麼會又冒出另一個非對稱的屈曲模態，屈曲以後，什麼變形模態是最可能的。

振動是極常見的現象。大家都熟悉簡諧振動，特別是通過富氏分析，了解了基頻振動和高頻分量的作用。但到了非線性振動，一系列完全不同的新現象出現了。其中由負阻尼引起的自激振動——系統靠內部維持振動，和次諧波共振（分頻）——系統外部強迫激勵幾分之一的頻率振動，最引人注目。不斷分頻而導致混沌，把確定性動力系統和隨機統計結合了起來。

上世紀30年代，J.R.Russell在英國一條運河中，騎馬追蹤觀察到一個突起的水峰能長時間維持其形狀和運動速度，沿河道持續行進，被稱為孤立波。二次大戰後，費米等人計算非線性彈性弦，發現類似的現象。到60年代，Zabusky和Kruskal才指出這是一類由非線性和色散的強耦合，形成的非常穩定的、即使碰撞也不改變形狀的、像粒子一樣的波結構，稱為孤立子。它表明在非線性（力學）現象中，除了分叉和不確定性解的另一個側面，即非常有組織的結構。這個力學理論，在20年後，竟成了遠距離光纖通訊的核心概念。

在連續的流動中，當質點運動速度超過物質中的聲速時，連續的流動會變成不連續的，也就是壓力、速度、密度都會形成一個突躍。然而激波的出現不是預先給定的，它是強非線性造成的一個自由界面，飛行體在這種情況下遇到的麻煩就叫“聲障”。二次大戰期間，美國洛克希德公司新造的戰鬥機，當時速為0.8聲速時，曾機毀人亡。事後檢查，局部流速超過聲速，激波不僅減弱升力，而且造成整機強烈振動而失去平衡。後來發現在固體中，甚至在交通車輛流中，激波也起著重要作用。

湍流被稱為是經典物理學中的最後的疑難。湍流問題難在哪裡？其關鍵是，它是一個真正的“多體”問題。例如，其自由度可用雷諾數的9/4次方估計，即使雷諾數為104，其自由度已高達109，相當計算機能力的上限。在湍流中，各種不同空間和時間尺度的大小旋渦相互嵌套著，能量在其間傳輸。強非線性相互作用，使得難以將看似有序的大尺度擬序結構與“混亂”的小尺度結構分割開來。湍流既是複雜流動向我們的挑戰，也是長期以來，人們窺視複雜運動普遍規律的一個窗口。

容易想象，固體破壞的物理本質，是從原子鍵的斷開，到宏觀固體的分離的全面展示。正因為如此，它跨越了從原子間距（Å）到宏觀工件（mm～m）之間107～1010的跨度，因此，其間的複雜性，可與湍流相比。以至，錢學森把它列入連基本概念還不清楚的一類問題。有時候，忽略細節的宏觀處理，如伽里略開始的強度理論，能提供一些可信的結果。然而，有時，一些微觀細枝末節卻又牽一髮而動全身，造成“螻蟻之穴，潰堤千里”的驚人效果。多層次的非線性相互作用，在這裡布置了一座迷宮，我們尚未找到合適的通道。

上面所列的幾個問題，決不是非線性力學的全部，而僅是幾個示範例子，它表明的共同特徵，可以概括為以下幾點：

局部之和不等於整體

因此不可能把對整體的認識，簡單還原為對若干局部的認識；另一方面，大量單元按某些簡單規律的多次重複，可能其總效應並不簡單。

不確定性

或者稱確定性的隨機行為，混沌即是一例。應該講，在壓桿屈曲中所顯示的解的分叉，就是這種不確定性的原由之一。湍流則應是這方面一個活的溝通理論與實際的例子。

組織性

強非線性耦合，還會造成與不確定性完全相反的一面，即堅不可摧的有組織的結構，孤立子是這方面的典型範例。

複雜性

由上面幾點合起來看，構成了現象譜的複雜性，而且不同特徵或模式間的轉換，由某種底蘊暗流所控制，表現上有突變性。

可能來自三方面：非線性、非平衡、多層次。

因此，站在世紀之交的人們，面臨著自然觀，從機械論，進而到還原論，再進而到非線性演化的發展。周光召在1995年的科學大會上講，我們“看到的將是與牛頓，愛因斯坦創建的決定性的、簡單和諧的模式不同，而是一個演化的、開放的、複雜的世界，這是一幅更接近真實的世界圖景。”在這樣一種觀察中，非線性力學，曾起過突進作用。半個世紀以前，馮·卡門的大聲疾呼“工程師與非線性問題拼搏！”已成為大批工程師和科學家，從航空、航天到大型土木和海洋工程，從氣象預報、地震預報到污染控制和生態環境保護領域的協同行動。但是，核心困難往往卡在強非線性耦合作用，及其引起的突變性問題上。顯然，非線性力學是理論和實踐，科學與工程的一個關鍵交匯點。因此，希望科研領導部門認識到，非線性力學的研究，是推動我國工程和科學發展的一種有長遠影響的內在動力，予以重視和支持。

最後，應該強調，在近代史中，中國人只在少數學科，對近代科學有記入史冊的貢獻，非線性力學就是一個“中國人最有成就的學科”。（見錢偉長引林家翹語，《力學進展》1983.13.P117）。如周培源對一般湍流的模式的研究，錢學森的跨聲速流相似率和殼體非線性失穩理論，錢偉長的扁球殼跳躍變形理論，郭永懷的奇異攝動法（PLK法——龐加萊，萊特希爾，郭永懷方法）等。因此，中國的非線性力學研究者，在國家和社會的需要提出如此重大的一些非線性力學問題的時候，在自然科學新觀點又滋生於一大類非線性力學問題的時候，理應繼承力學界前輩的傳統，勇於創新，勇於開拓，做出符合時代要求的貢獻。