希爾伯特黃變換

HHT主要內容包含兩部分，第一部分為經驗模態分解（Empirical Mode Decomposition，簡稱EMD），它是由Huang提出的；第二部分為Hilbert譜分析（Hilbert Spectrum Analysis，簡稱HSA）。簡單說來，HHT處理非平穩信號的基本過程是：首先利用EMD方法將給定的信號分解為若干固有模態函數（以Intrinsic Mode Function或IMF表示，也稱作本徵模態函數），這些IMF是滿足一定條件的分量；然後，對每一個IMF進行Hilbert變換，得到相應的Hilbert譜，即將每個IMF表示在聯合的時頻域中；最後，匯總所有IMF的Hilbert譜就會得到原始信號的Hilbert譜。

經驗模態分解往往被稱為是一個“篩選”過程。這個篩選過程依據信號特點自適應地把任意一個複雜信號分解為一列本徵模態函數(IntrinsicMode Function, IMF)。它滿足如下兩個條件：

(1) 信號極值點的數量與零點數相等或相差是一；

(2) 信號的由極大值定義的上包絡和由極小值定義的下包絡的局部均值為零。

EMD 篩選過程如下：

(1) 對輸入信號，求取極大值點，和極小值點，

(2) 對極大值點和極小值點採用三次樣條函數插值構造信號上下包絡、 , 計算上、下包絡的均值函數；

(3) 考察是否滿足IMF 條件，如果滿足則轉到下一步，否則對 進行前兩步操作，求 得以及，依次下去，直到第k步滿足IMF條件，則求得第一個IMF ；

(4) 得到第一個殘留，對作如同上述三步操作，得到 以及以此類推；

(5) 直到 為單調信號或者只存在一個極點為止。原始信號被表達為。

這類本徵模態函數的瞬時頻率(Instantaneous Frequency ,IF)有著明確的物理意義。因此，經驗模態分解后, 對每一個IMF作希爾伯特變換( Hilbert Transform,HT)，繼而可求取每一個IMF的瞬時頻率。

對任意信號，稱為的希爾伯特變換，其中P.V表示Cauchy 主值積分。

通過HT，可以構造解析信號，並在極坐標下表達為: ，其中，，則的瞬時頻率定義為。

綜合上述兩步，原信號表達為，為一個時間-頻率-能量三維分布圖。

與傳統的信號或數據處理方法相比，HHT具有如下特點：

(1)HHT能分析非線性非平穩信號。

傳統的數據處理方法，如傅立葉變換隻能處理線性非平穩的信號，小波變換雖然在理論上能處理非線性非平穩信號，但在實際演演算法實現中卻只能處理線性非平穩信號。歷史上還出現過不少信號處理方法，然而它們不是受線性束縛，就是受平穩性束縛，並不能完全意義上處理非線性非平穩信號。HHT則不同於這些傳統方法，它徹底擺脫了線性和平穩性束縛，其適用於分析非線性非平穩信號。

(2)HHT具有完全自適應性。

HHT能夠自適應產生“基”，即由“篩選”過程產生的IMF。這點不同於傅立葉變換和小波變換。傅立葉變換的基是三角函數，小波變換的基是滿足“可容性條件”的小波基，小波基也是預先選定的。在實際工程中，如何選擇小波基不是一件容易的事，選擇不同的小波基可能產生不同的處理結果。我們也沒有理由認為所選的小波基能夠反映被分析數據或信號的特性。

(3)HHT不受Heisenberg測不準原理制約——適合突變信號。

傅立葉變換、短時傅立葉變換、小波變換都受Heisenberg測不準原理制約，即時間窗口與頻率窗口的乘積為一個常數。這就意味著如果要提高時間精度就得犧牲頻率精度，反之亦然，故不能在時間和頻率同時達到很高的精度，這就給信號分析處理帶來一定的不便。而HHT不受Heisenberg測不準原理制約，它可以在時間和頻率同時達到很高的精度，這使它非常適用於分析突變信號。

(4)HHT的瞬時頻率是採用求導得到的。

傅立葉變換、短時傅立葉變換、小波變換有一個共同的特點，就是預先選擇基函數，其計算方式是通過與基函數的卷積產生的。HHT不同於這些方法，它藉助Hilbert變換求得相位函數，再對相位函數求導產生瞬時頻率。這樣求出的瞬時頻率是局部性的，而傅立葉變換的頻率是全局性的，小波變換的頻率是區域性的。