阿特利·西爾伯格

哈代便說過素數定理必須以複分析證明，顯出定理結果的「深度」。他認為只用到實數不足以解決某些間題，必須引進複數來解決。這是憑感覺說出來的，覺得一些方法比別的更高等也更厲害，而素數定理的初等證明動搖了這論調。Selberg－艾狄胥的證明正好表示，看似初等的組合數學，威力也可以很大。 category:數論 ja:素數定理。

證思：初證思般歐拉恆等式，從中找到素數分佈與自然對數的關係。

描述素素致布況。素規律困惑著。，素整規律。，素竟規循。，義π()素。找函數來估計π(x)的增長。以下是第一個這樣的估計。 :\pi(x)\approx\frac 其中ln x為x的自然對數。上式的意思是當x趨近∞，π(x) 和x/ln x的比趨近1（註：該結果為高斯所發現）。但這不表示它們的數值隨著x增大而接近。下面是對π(x)更好的估計： :\pi(x)= (x) + O \left(x e^\right)，當 x 趨近∞。其中 (x) = \int_2^x \frac，而關係式右邊第二項是誤差估計，詳見大O符號。下表比較了π(x)，x/ln x和Li(x)： x π(x) π(x) - x/ln(x) Li(x) - π(x) x/π(x)

素數定理可以給出第n個素數p(n)的漸近估計： :p(n)\sim n\ln\,n. 它也給出從整數中抽到素數的概率。從不大於n的自然數隨機選一個，它是素數的概率大約是1/ln n。這定理的式子於1798年法國數學家勒讓德提出。1896年法國數學家哈達瑪(Jacques Hadamard)和比利時數學家普森(Charles Jean de la Vallée-poussin)先後獨立給出證明。證明用到了複分析，尤其是黎曼ζ函數。因為黎曼ζ函數與π(x)關係密切，關於黎曼ζ函數的黎曼猜想對數論很重要。一旦猜想獲證，便能大大改進素數定理誤差的估計。1901年瑞典數學家Helge von Koch證明出，假設黎曼猜想成立，以上關係式誤差項的估計可改進為 : \pi(x) = (x) + O\left(\sqrt x \ln\,x\right) 至於大O項的常數則還未知道。