abel群

阿貝爾群的群運算符合交換律，因此阿貝爾群也被稱為交換群。它由自身的集合G和二元運算構成。它除了滿足一般的群公理，即運算的結合律、G有單位元、所有G的元素都有逆元之外，還滿足交換律公理

。

因為阿貝爾群的群運算滿足交換律和結合律，群元素乘積的值與乘法運算時的次序無關。而群運算不滿足交換律的群被稱為“非阿貝爾群”，或“非交換群”。

阿貝爾群有兩種主要運算符號—加法和乘法。

一般地說，乘法符號是群的常用符號，而加法符號是模的常用符號。當同時考慮阿貝爾群和非阿貝爾群時，加法符號還可以用來強調阿貝爾群是特定群。

驗證有限群是阿貝爾群，可以構造類似乘法表的一種表格（矩陣），它稱為凱萊表。如果群在運算⋅下，則這個表的第個表項包含乘積。群是阿貝爾群當且僅當這個表是關於主對角線是對稱的（就是說這個矩陣是對稱矩陣）。

這是成立的因為如果它是於阿貝爾群，則 。這蘊含了第個表項等於第個表項，就是說這個表示關於主對角線對稱的。

阿貝爾群是Camille Jordan以挪威數學家尼爾斯·阿貝爾命名的，他首先察覺到了阿貝爾首先發表的這種群與根式可解性的聯繫的重要性。

如果n是自然數而x是使用加號的阿貝爾群G的一個元素，則nx可以定義為（n個數相加）並且。以這種方式，G變成在整數的環Z上的模。事實上，在Z上的模都可以被識別為阿貝爾群。

關於阿貝爾群（比如在主理想整環Z上的模）的定理經常可以推廣到在任意主理想整環上的模。典型的例子是有限生成阿貝爾群的分類是在主理想整環上的有限生成模的結構定理的特殊情況。在有限生成阿貝爾群的情況下，這個定理保證阿貝爾群可以分解為撓群和自由阿貝爾群的直和。前者可以被寫為形如對於素數p的有限多個群的直和，而後者是有限多個Z的複本的直和。

如果是在阿貝爾群之間的兩個群同態，則它們的和，定義為，也是阿貝爾同態。（如果H是非阿貝爾群則這就不成立。）所有從G到H的群同態的集合Hom因此是自身方式下的阿貝爾群。

某種程度上類似於向量空間的維度，所有阿貝爾群都有秩。它定義為群的線性無關元素的最大集合的勢。整數集和有理數集和所有的有理數集的子群都有秩1。

• 整數集和加法運算"+"是阿貝爾群，指示為，運算 +組合兩個整數形成第三個整數，加法是符合結合律的，零是加法單位元，所有整數n都有加法逆元，加法運算是符合交換律的因為對於任何兩個整數m和n有。

• 所有循環群G是阿貝爾群，因為如果x,y在G中，則。因此整數集Z形成了在加法下的阿貝爾群，整數模以也是。

• 所有環都是關於它的加法運算的阿貝爾群。在交換環中的可逆元形成了阿貝爾乘法群。特別是實數集是在加法下的阿貝爾群，非零實數集在乘法下是阿貝爾群。

• 所有阿貝爾群的子群都是正規子群，所以每個子群都引發商群。阿貝爾群的子群、商群和直和也是阿貝爾群。

矩陣即使是可逆矩陣，一般不形成在乘法下的阿貝爾群，因為矩陣乘法一般是不可交換的。但是某些矩陣的群是在矩陣乘法下的阿貝爾群 - 一個例子是旋轉矩陣的群。

整數模以n的循環群是最常見的群的例子。已證實了任意有限阿貝爾群都同構於素數階的有限循環群的直和，並且這些階數是唯一確定的，形成了一個不變數（invariant）的完備系統。有限阿貝爾群的自同構群可以依據這些不變數來直接描述。有關理論最初發展自費迪南德·格奧爾格·弗羅貝尼烏斯和Ludwig Stickelberger在1879年的論文，後來被簡化和推廣到在主理想整環上的有限生成模，形成了線性代數的一個重要組成部分。

分類

有限阿貝爾群的基本定理聲稱所有有限阿貝爾群G都可以表達為素冪（prime-power）階的循環子群的直和。這是有限生成阿貝爾群的基本定理在G有零秩時的特殊情況。

mn階的循環群 同構於 與 的直和，當且僅當m與n是互素的。可推出任何有限阿貝爾群G同構於如下形式的直和

以任何下列規範方式：

• 數是素數的冪

• 整除，它又整除，如此直到。

例如，可以被表達為3階和5階的兩個循環群的直和： 。對於任何15階的阿貝爾群這也成立，導致了所有15階阿貝爾群都是同構的的顯著結論。

另一個例子，所有8階段阿貝爾群都同構於要麼 (整數0到7在模8加法下)， （奇數1到15在模16乘法下），要麼。

小於等於16階的有限阿貝爾群可參見小群列表。

• 類域論

• 交換子群

• 初等阿貝爾群

• 有限生成阿貝爾群

• 自由阿貝爾群

• 龐特里亞金對偶性

• 秩1無撓阿貝爾群