代數閉包

代數閉包(algebraic closure)是實線性空間中的集合的代數意義下的閉包。設A為實線性空間X中的集合。A的代數閉包是指這樣的點的全體：存在，對於任何，存在，使得。A的代數閉包常記為。如果，那麼A稱為代數閉集。它也是X在以代數開集為開集的拓撲意義下的閉集，即代數閉集的余集必定是代數開集；反之亦然。代數閉包的概念在敘述凸集分離定理時也起重要作用。

有的文獻定義代數閉包時，要求對於任何。這時代數閉集就不再是代數開集的余集。但當A是多於一點的凸集時，由這兩種定義得到的代數閉包是相同的。

代數閉域是一類重要的域。指次數大於1的多項式均可分解的域。若域K上多項式環中的每一個次數大於零的多項式在K中都有一個根，則稱K為代數閉域。從而在中每個次數大於零的多項式能分解為一次因式之積。1910年，施泰尼茨(Steinitz，E.)在他發表的基本論文中首先證明：每個域都可以經代數擴張得到一個代數閉域。

凸集分離定理是凸集理論的最基本的定理。它是指在很弱的條件下，兩個不相交的凸集總可用超平面分離。設A，B為實線性空間X中的兩個非空子集。

為X中的一個超平面。如果對於任何，有：那麼稱超平面H分離A和B；如果不等號中有一個是嚴格的，那麼稱H嚴格分離A和B；如果存在，使得任何滿足：那麼稱H強分離A和B。基本的凸集分離定理如下：如果凸，其相對代數內部非空，且不包含原點，那麼A和B可用超平面分離；如果同時還有其代數閉包不包含原點，那麼A和B可用超平面強分離。注意到有限維空間中的凸集的相對內部總非空，由此可得，R中的兩個不相交的凸集總可用超平面分離。在拓撲線性空間X中討論凸集分離定理，常要求所用的超平面是閉的。這時基本的凸集分離定理為：如果凸，其內部)非空，且不包含原點，那麼A和B可用閉超平面分離；如果同時還有的閉包不包含原點，那麼A和B可用閉超平面強分離。因為一般的拓撲線性空間中可能根本不存在閉超平面，所以有內部非空的凸集的存在也是閉超平面存在的充分必要條件，其中必要性由超平面形成的開半空間是內部非空的凸集而得。當X是局部凸空間(包括巴拿赫空間)，即它具有零的凸鄰域基時，上述內部可改為相對內部，且在後半部分可不要求的內部或相對內部非空。一種常用的形式如下：設A是局部凸空間X中的閉凸集，B是X中的緊凸集。如果A和B不相交，那麼它們可用閉超平面強分離。

凸集分離定理有很多等價定理，其中最著名的是哈恩-巴拿赫定理。它是凸分析的基礎，也在基礎數學與應用數學的許多領域中起著重要作用。這一定理有很直觀的形象：平面上的兩個不相交的凸集可用直線把它們分離，但是其一般情形的證明必須用選擇公理或其等價定理(佐恩引理、超限歸納法等)。定理的雛形是20世紀初由閔科夫斯基(Minkowski，H.)提出的。

德國數學家。生於德國西里西亞(Silesia)(今屬波蘭)，卒於基爾(Kiel)。1894年獲得博士學位，後任教於布雷斯勞(Breslau)工業學院(1910～1920)和基爾大學(1920—1928)。他對抽象域進行了綜合的研究，著有《域的代數理論》(AlgebraischeTheorie der Körper，1910)。施泰尼茨認為，每一個域K都可以從它的素域(即K的所有子域的公共元素所構成的子域)出發，經過如下的添加而得到：首先作一系列(可能無限多的)超越添加(transcendentaladjunction)得到一個超越擴張，然後對這個超越擴張又作一系列代數添加。如果一個域能夠從一個域K經過一串單純代數添加而得到，那麼就稱K的一個代數擴張。施泰尼茨證明了，對於每一個域K，存在一個唯一的代數封閉域是K的代數擴張。他還研究了伽羅瓦方程理論在域中的有效性問題。