功率譜

功率譜估計是數字信號處理的主要內容之一，主要研究信號在頻域中的各種特徵，目的是根據有限數據在頻域內提取被淹沒在雜訊中的有用信號。

英國科學家牛頓最早給出了“譜”的概念。後來，1822年，法國工程師傅立葉提出了著名的傅立葉諧波分析理論。該理論至今依然是進行信號分析和信號處理的理論基礎。

傅立葉級數提出后，首先在人們觀測自然界中的周期現象時得到應用。19世紀末，Schuster提出用傅立葉級數的幅度平方作為函數中功率的度量，並將其命名為“周期圖”（periodogram）。這是經典譜估計的最早提法，這種提法至今仍然被沿用，只不過現在是用快速傅立葉變換（FFT）來計算離散傅立葉變換（DFT），用DFT的幅度平方作為信號中功率的度量。

周期圖較差的方差性能促使人們研究另外的分析方法。1927年，Yule提出用線性回歸方程來模擬一個時間序列。Yule的工作實際上成了現代譜估計中最重要的方法——參數模型法譜估計的基礎。

Walker利用Yule的分析方法研究了衰減正弦時間序列，得出Yule-Walker方程，可以說，Yule和Walker都是開拓自回歸模型的先鋒。

1930年，著名控制理論專家Wiener在他的著作中首次精確定義了一個隨機過程的自相關函數及功率譜密度，並把譜分析建立在隨機過程統計特徵的基礎上，即，“功率譜密度是隨機過程二階統計量自相關函數的傅立葉變換”，這就是Wiener—Khintchine定理。該定理把功率譜密度定義為頻率的連續函數，而不再像以前定義為離散的諧波頻率的函數。

1949年，Tukey根據Wiener—Khintchine定理提出了對有限長數據進行譜估計的自相關法，即利用有限長數據估計自相關函數，再對該自相關函數球傅立葉變換，從而得到譜的估計。1958年， Blackman和Tukey在出版的有關經典譜估計的專著中討論了自相關譜估計法，所以自相關法又叫BT法。周期圖法和自相關法都可用快速傅立葉變換演演算法來實現，且物理概念明確，因而仍是目前較常用的譜估計方法。

1948年，Bartlett首次提出了用自回歸模型係數計算功率譜。自回歸模型和線性預測都用到了1911年提出的Toeplitz矩陣結構，Levinson曾根據該矩陣的特點於1947年提出了解Yule-Walker的快速計算方法。這些工作為現代譜估計的發展打下了良好的理論基礎。

1965年，Cooley和Tukey提出的FFT演演算法，也促進了譜估計的迅速發展。

現代譜估計主要是針對經典譜估計的解析度差和方差性能不好的問題而提出的。現代譜估計從方法上大致可分為參數模型譜估計和非參數模型譜估計兩種，前者有AR模型、MA模型、ARMA模型、PRONY指數模型等；後者有最小方差方法、多分量的MUSIC方法等。

周期運動在功率譜中對應尖鋒，混沌的特徵是譜中出現"雜訊背景"和寬鋒。它是研究系統從分岔走向混沌的重要方法。在很多實際問題中（尤其是對非線性電路的研究）常常只給出觀測到的離散的時間序列X1, X2, X3,...Xn,那麼如何從這些時間序列中提取前述的四種吸引子（零維不動點、一維極限環、二維環面、奇怪吸引子）的不同狀態的信息呢？我們可以運用數學上已經嚴格證明的結論，即擬合。我們將N個採樣值加上周期條件Xn+i=Xi，則自關聯函數（即離散卷積）為 然後對Cj完成離散傅氏變換，計算傅氏係數。 Pk說明第k個頻率分量對Xi的貢獻，這就是功率譜的定義。當採用快速傅氏變換演演算法后，可直接由Xi作快速傅氏變換，得到係數 然後計算，由許多組{Xi}得一批{Pk'}，求平均后即趨近前面定義的功率譜Pk。從功率譜上，四種吸引子是容易區分的，如圖12 (a)，(b)對應的是周期函數，功率譜是分離的離散譜 (c)對應的是准周期函數，各頻率中間的間隔分佈不像(b)那樣有規律。 (d)圖是混沌的功率譜，表現為"雜訊背景"及寬鋒。考慮到實際計算中，數據只能取有限個，譜也總以有限分辨度表示出來，從物理實驗和數值計算的角度看，一個周期十分長的解和一個混沌解是難於區分的，這也正是功率譜研究的主要弊端。

功率譜密度的常用性質為：

(1)功率譜密度函數票p（w）是實的；

(2)功率譜密度是非負的，即p（w）≥0；

(3)功率譜密度的逆傅里葉變換是信號的自相關函數；

(4)功率譜密度對頻率的積分給出信號｛f(t）｝的方差。

功率譜密度定義給出了區別於時域的功率描述方法，常應用於統計信號處理，介紹兩個基本應用

（1）白雜訊與有色雜訊的定義。

若信號的功率譜P(W)=N0等於常數，即，則隨機過程｛f(t）｝稱為白雜訊，反之則稱為有色雜訊。

（2）利用其與自相關函數的關係求信號的自相關函數。