雙線性映射

設V,W和X是在同一個基礎域F上的三個向量空間。雙線性映射是函數。

使得對於任何W中w，映射是從V到X的線性映射，並且對於任何V中的v，映射是從W到X的線性映射。換句話說，如果保持雙線性映射的第一個參數固定，並留下第二個參數可變，結果的是線性運算元，如果保持第二個參數固定也是類似的。

如果並且有對於所有V中的v,w，則我們稱B是對稱的。

當這裡的X是F的時候，我們稱之為雙線性形式，它特別有用(參見例子標量積、內積和二次形式)。

如果使用在交換環R上的模替代向量空間，定義不需要任何改變。還可容易的推廣到n元函數，這裡正確的術語是“多線性”。

對非交換基礎環R和右模與左模的情況，我們可以定義雙線性映射，這裡的T是阿貝爾環，使得對於任何N中的是群同態，而對於任何M中的是群同態，並還滿足,對於所有的M中的m，N中n和R中的t。

定義的V,W,X是有限維的，則也是。對於就是雙線性形式，這個空間的維度是（儘管線性形式的空間的維度是）。要看出來，選擇V和W的基；接著每個線性映射可以唯一的表示為矩陣，反之亦然。現在，如果X是更高維的空間，我們明顯的有dimL(V如果V,W,X是有限維的，則L(V,W;X)也是。對於就是雙線性形式，這個空間的維度是（儘管線性形式的空間的維度是）。要看出來，選擇V和W的基；接著每個線性映射可以唯一的表示為矩陣，反之亦然。現在，如果X是更高維的空間，我們明顯的有。

• 矩陣乘法是雙線性映射。

• 如果在實數R上的向量空間V承載了內積，則內積是雙線性映射。

• 一般的說，對於在域F上的向量空間V，在V上的雙線性形式同於雙線性映射。

• 如果V是有對偶空間V*的向量空間，則應用運算元是從到基礎域的雙線性映射。

• 設V和W是在同一個基礎域F上的向量空間。如果f是V* 的成員而g是W* 的成員，則定義雙線性映射。

• 在R中叉積是雙線性映射。

• 設是雙線性映射，而是線性運算元，則是在上的雙線性映射。

• 零映射，定義於對於所有中的(v,w)，是從到X的同時為雙線性映射和線性映射的唯一映射。實際上，如果，則。