向量積

兩個向量a和b的叉積寫作（有時也被寫成，避免和字母x混淆）。

向量積可以被定義為：模長：（在這裡θ表示兩向量之間的夾角(共起點的前提下)，它位於這兩個矢量所定義的平面上。）

方向：a向量與b向量的向量積的方向與這兩個向量所在平面垂直，且遵守右手定則。（一個簡單的確定滿足“右手定則”的結果向量的方向的方法是這樣的：若坐標系是滿足右手定則的，當右手的四指從a以不超過180度的轉角轉向b時，豎起的大拇指指向是c的方向。）

也可以這樣定義（等效）：

向量積

即c的長度在數值上等於以a，b，夾角為θ組成的平行四邊形的面積。

而c的方向垂直於a與b所決定的平面，c的指向按右手定則從a轉向b來確定。

*運算結果c是一個偽向量。這是因為在不同的坐標系中c可能不同。

設 , )。i，j，k分別是X，Y，Z軸方向的單位向量，則：

為了幫助記憶，利用三階行列式，寫成

為了更好地推導，我們需要加入三個軸對齊的單位向量i,j,k。

i,j,k滿足以下特點：

；

；(0是指0向量）

由此可知，i,j,k是三個相互垂直的向量。它們剛好可以構成一個坐標系。

這三個向量的特例就是。

對於處於i,j,k構成的坐標系中的向量u,v我們可以如下表示：

；

；

那麼

由於上面的i,j,k三個向量的特點，所以，最後的結果可以簡化為

。

註：向量積≠向量的積（向量的積一般指點乘）

一定要清晰地區分開向量積（矢積）與數量積（標積）。見下表。

叉積的長度可以解釋成這兩個叉乘向量a,b共起點時，所構成平行四邊形的面積。據此有：混合積可以得到以a，b，c為棱的平行六面體的體積。

1.反交換律：

2.加法的分配律：

3.與標量乘法兼容：

4.不滿足結合律，但滿足雅可比恆等式：

5.分配律，線性性和雅可比恆等式別表明：具有向量加法和叉積的R3構成了一個李代數。

6.兩個非零向量a和b平行，當且僅當。

這是一個著名的公式，而且非常有用：

證明過程如下：

二重向量叉乘化簡公式及證明

可以簡單地記成。這個公式在物理上簡化向量運算非常有效。需要注意的是，這個公式對微分運算元不成立。

這裡給出一個和梯度相關的一個情形：

這是一個霍奇拉普拉斯運算元的霍奇分解的特殊情形。

另一個有用的拉格朗日恆等式是：

這是一個在四元數代數中范數乘法的特殊情形。

給定直角坐標系的單位向量i，j，k滿足下列等式：

；

；

；

通過這些規則，兩個向量的叉積的坐標可以方便地計算出來，不需要考慮任何角度：設

；

；

則。

叉積也可以用四元數來表示。注意到上述i，j，k之間的叉積滿足四元數的乘法。一般而言，若將向量表示成四元數，兩個向量的叉積可以這樣計算：計算兩個四元數的乘積得到一個四元數，並將這個四元數的實部去掉，即為結果。更多關於四元數乘法，向量運算及其幾何意義請參看四元數（空間旋轉）。

七維向量的叉積可以通過八元數得到，與上述的四元數方法相同。

七維叉積具有與三維叉積相似的性質：

雙線性性：；

反交換律：；

同時與x和y垂直：；

拉格朗日恆等式：；

不同於三維情形，它並不滿足雅可比恆等式：。

在物理學光學和計算機圖形學中，叉積被用於求物體光照相關問題。

求解光照的核心在於求出物體表面法線，而叉積運算保證了只要已知物體表面的兩個非平行矢量(或者不在同一直線的三個點)，就可依靠叉積求得法線。