李代數

一類重要的非結合代數。非結合代數是環論的一個分支，與結合代數有著密切聯繫。結合代數的定義中把乘法結合律刪去，就是非結合代數。

李代數是挪威數學家索菲斯·李在19世紀後期研究連續變換群時引進的一個數學概念，它與李群的研究密切相關。在更早些時候，它曾以含蓄的形式出現在力學中，其先決條件是“無窮小變換”概念，這至少可追溯到微積分的發端時代。可用李代數語言表述的最早事實之一是關於哈密頓方程的積分問題。李是從探討具有r個參數的有限單群的結構開始的，並發現李代數的四種主要類型。法國數學家嘉當在1894年的論文中給出變數和參變數在複數域中的全部單李代數的一個完全分類。他和德國數學家基靈都發現，全部單李代數分成4個類型和5個例外代數，嘉當還構造出這些例外代數。嘉當和德國數學家外爾還用表示論來研究李代數，後者得到一個關鍵性的結果。“李代數”這個術語是1934年由外爾引進的。隨著時間的推移，李代數在數學以及古典力學和量子力學中的地位不斷上升。到20世紀80年代，李代數不再僅僅被理解為群論問題線性化的工具，它還是有限群理論及線性代數中許多重要問題的來源。李代數的理論不斷得到完善和發展，其理論與方法已滲透到數學和理論物理的許多領域。 

假設L是域F上的向量空間。如果L上有一個運算L×L→L，(x,y)→[x,y]滿足以下三個條件，則稱L是一個李代數。 

（1）這個運算是雙線性的，即 [ax+by,cz+dw]=ac[x,z]+cb[y,z]+ad[x,w]+bd[y,w]。

（2）[x,x]=0，對L中任意元素x∈L。

嘉當(1張)

（3）[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0，對所有L中元素x，y，z∈L。

首兩個條件蘊含反對稱性[x,y]=-[y,x]。

條件(3)稱為雅可比恆等式。

我們也可以把[x,]看成一個導子，即滿足萊布尼茲法則的導運算元，將此導子記為ad x。

L的子空間K稱為(李)子代數，如果K關於運算[,]封閉。L 的子代數I若滿足[x,y]∈I,對於任意的x∈L,y∈I,則稱I為L的一個理想或不變子代數。顯然，它是L的子李代數。

李代數g作為F上向量空間,它的維數稱為李代數g的維數。

設g是域F上一個向量空間,在g中定義換位運算：對於X,Y∈g，令【X,Y】=0，則g作成一個李代數，稱為交換（或阿貝爾）李代數。

在R^3={(x1,x2,x3)|xi∈R,R 是實數域，i=1, 2，3}中, 設：

則R3作成R上一個李代數。

令V 是域F上一個向量空間。可知V的一切線性變換作成F上一個向量空間，設ƒ、g是V的線性變換,令ƒg表示ƒ與g的合成,並定義【ƒ,g】=ƒg-gƒ，直接驗證可知，V的全體線性變換所組成的向量空間，對於這樣定義的換位運算,作成F上一個李代數。這個李代數稱為全線性李代數，記作g{(V)。

類似地,域F上全體n×n矩陣所組成的向量空間，對於換位運算【A,B】=AB-BA（A、B是n×n矩陣）,作成F上一個李代數，並稱之為F上全陣李代數，記作g{(n,F)。

更一般地,設U是域F上一個結合代數。對於α、b∈U定義【α,b】=αb-bα，則U作成F上一個李代數。

子代數、理想、商代數、同態 令g是域F上一個李代數，α、b是g的子空間。記【α,b】={Σ【A,B】(有限和)│A∈α,B∈b }，則【α, b】是g的一個子空間。設α是g的一個子空間。如果【α, α】嶅α，那麼就稱α是g的一個子代數;如果【α, g】嶅α,那麼α就稱為g的一個理想。由於【α,g】=【g,α】，因此李代數的理想都是雙邊的。如果α是g的一個理想，在商空間g/α里，定義【X+α,Y+α】=【X,Y】+α，那麼g/α作成F上一個李代數,稱為g模α的商代數。

設g1、g2是域F上李代數。ƒ:g1→g2是一個線性映射。如果對於X、Y∈g,ƒ(【X,Y】)=【ƒ(X), ƒ(Y)】，那麼ƒ就稱為一個同態映射。如果ƒ還是一個雙射，那麼就稱ƒ是一個同構映射,這時g1與g2就稱為同構,記作g1≌g2。設ƒ:g1→g2是一個同態映射，則 Im ƒ=ƒ(g1)是g2的一個子代數,而Kerƒ=ƒ-1(0)是g1的一個理想，並且ƒ導出一個同構g1/Ker ƒ≌Im ƒ。

設V是域F上一個n維向量空間。通過取定V的一個基，可以在全線性李代數g{（V）與全陣李代數 g{(n, F)之間建立同構，因而常把這兩個李代數看成是一樣的。g{(n,F)（或g{(V)）的子代數稱為線性李代數。一些重要的線性李代數如下：t(n,F)={(αij)|(αij)∈g{(n,F)，αij=0,若i>j}。它是F上一切n×n上三角形矩陣所組成的集合。n(n,F)={(αij)|(αij)∈t(n,F),αij=0,1≤i≤n}，即主對角線上元素都是0的 n×n上三角形矩陣所組成的集合。

容易驗證,t(n,F)和n(n,F)都是g{(n,F)的子代數。

域F上一切跡是0(即主對角線上元素的和等於0)的n×n 矩陣,作成g{(n,F)的一個理想,記作s{(n,F)。當F是複數域，而n=l+1(l≥1)時，這個李代數通常記作Al，稱為特殊線性李代數。

取定域F上一個n×n對稱或反對稱矩陣M。 令g={X∈g{(n,F)| tXM+MX =0}(X表示X的轉置), 則g是g{(n,F)的子代數。現設F是複數域，M是一個非退化對稱矩陣，於是M與以下兩個矩陣之一合同：

當n=2l+1時，有：

當n=2l時，有：

在前一情形，與之相當的g記作Bl；在後一情形，記作Dl。這兩類李代數都稱為正交代數。如果M是一個非退化反對稱矩陣，那麼n一定是偶數：n=2l，因此M與合同。與此相當的李代數g稱為辛代數，記作Cl。

可解李代數、冪零李代數設g是域F上一個李代數，α、b是g的理想，那麼【α,b】仍是g的一個理想，特別,g(1)=【g,g】, g(2)=【g(1),g(1)】,…,gn+1=【g(n), g(n)】，…都是g的理想。於是有g叾g(1)叾g(2)叾…，稱為g的導出鏈。g(1)稱為g的導出代數。如果存在一個正整數n，使得g(n)={0}，那麼就說g是可解的。

再定義g1=g,g2=【g,g1】,…,gn+1=【g,gn】,…，又可得到g的一個理想序列g1叾g2叾…,稱為g的降中心鏈。如果存在一個正整數n，使得gn={0}，那麼就說g是冪零的。因為g(i)嶅gi，所以冪零李代數一定是可解的。

令V是域F上一個n（大於零）維向量空間，g是g{(V)的一個子代數。如果g的元素都是V的冪零線性變換，那麼存在V的一個非零向量v，使得對於每一個X∈g都有X·v=0，因此，適當選取V的基，並且將g{(V)與g{(n,F)看成一樣的,就有g嶅n(n,F)。

令F是一個特徵為0的代數閉域，V是F上一個n（大於零）維向量空間,g是g{(V)的一個可解子代數，則存在V的一個非零向量v，使得對於每一X∈g都有Xv=φ(X)v，φ(X)∈F。因此適當選取V的基可以使得g嶅t(n，F)。

單李代數、半單李代數域F上一個李代數g是所謂單的，即指除了g本身和{0}以外,g不含其他理想。F上一個有限維李代數g是所謂半單的，即指g不含非零可解理想。每一個有限維李代數g都含有惟一的最大可解理想r,就是這樣一個理想, 它包含g的一切可解理想，稱為g的根基。g是半單的當且僅當它的根基r={0}。除一維李代數外,有限維單李代數都是半單的。特徵為0的域上每一個半單李代數都是一些單李代數的直和。

令g是域F上一個李代數，V 是F上一個向量空間。李代數的一個同態ρ: g→g{(V)，稱為g在V上的一個線性表示,簡稱表示。用(ρ，V)代表g在V上的表示ρ，V稱為ρ的表示空間。當dimV=n時,取定V的一個基，將g{(V)與g{(n,F)看成一樣,於是就得到一個李代數同態ρ: g→g{(n,F)，仍記作ρ,稱為g的一個矩陣表示。如果g的一個表示ρ是單射，那麼就稱(ρ,V)是一個忠實表示。有阿多－岩沢定理：域F上每一個有限維李代數都有一個忠實表示。

設(ρ,V)是李代數g的一個表示。V的一個子空間W稱為ρ(g)不變的，即指W在一切ρ(X)(X∈g)之下不變。李代數g的一個表示(ρ,V)稱為不可約的，是指除{0}和V本身外,V沒有其他ρ(g)不變子空間。所謂(ρ,V)是完全可約的,意即V是一些ρ(g)不變的子空間的直和,並且ρ在每一個這樣的子空間上的限制都是不可約的。有外爾定理：特徵為 0的域上半單李代數的每一（有限維）表示都是完全可約的。

最重要的一種表示就是所謂伴隨表示。設X是李代數g的一個元素。對於每一Y∈g，定義adX(Y)=【X,Y】，則adX是g的一個線性變換,並且ad∶X→adX(X∈g)是g到g{(g)的一個同態映射(利用雅可比恆等式很容易驗證)。因此，(ad,g)是g的一個表示。表示空間就是g本身，稱為g的伴隨表示。

設(ρ，V)是g的一個有限維表示。定義一個對稱雙線性型 k:g×g→F；對於X、Y ∈g, 定義k(X,Y)=Trρ(X)·ρ(Y)(ρ(X)ρ(Y)的跡)。特別,當g是有限維的而ρ是伴隨表示ad時, k稱為g的基靈型。基靈型在研究李代數的結構中起重要的作用。例如有嘉當判定準則：特徵為0的域上一個(有限維)李代數是半單的,必要而且只要g的基靈型非退化。

具體例子

1. 設V是域F上的線性空間，則V上線性變換全體構成了一個線性空間，記為gl(V)。定義[x,y]=xy-yx，這裡x，y是gl(V)中元素，xy和yx都是線性變換的複合，則gl(V)關於這個運算構成李代數。這個李代數稱為一般線性代數(general linear algebra)。 

2. 設V是域F上的l+1維線性空間，則V上跡為0的線性變換構成一個線性空間，記為sl(V)。定義[x,y]=xy-yx，這裡x，y是sl(V)中元素，xy和yx都是線性變換的複合，則sl(V)關於這個運算構成李代數。這個李代數稱為特殊線性代數(special linear algebra)。

3. 三維向量空間， 運算定義為通常的外積(叉乘)運算。

抽象例子

1. L的中心Z(L)={z∈L | [x,z]=0, 對所有 x∈L}是一個李代數。

2. 集合[L,L]稱為導出代數，是由所有[x,y]線性組合構成的集合。它是一個李代數。