穿針引線法

“穿針引線法”又稱“數軸穿根法”或“數軸標根法”。

準確的說，應該叫做“序軸標根法”。序軸：省去原點和單位，只表示數的大小的數軸。序軸上標出的兩點中，左邊的點表示的數比右邊的點表示的數小。

當高次不等式（或）的左邊整式、分式不等式（或）的左邊分子、分母能分解成若干個一次因式的積的形式，可把各因式的根標在數軸上，形成若干個區間，最右端的區間、的值必為正值，從右往左通常為正值、負值依次相間，這種解不等式的方法稱為序軸標根法。

為了形象地體現正負值的變化規律，可以畫一條浪線 從右上方依次穿過每一根所對應的點，穿過最後一個點后就不再變方向，這種畫法俗稱“穿針引線法“。

用於解簡單高次不等式。

淮南三中一名老教師。於1983發表的一篇論文《數軸標根法解不等式》上介紹此法，便於解此類不等式。

通過不等式的諸多性質對不等式進行移項，使得右側為0。（注意：一定要保證最高次數項的係數為正數）

例如：將化為

將不等號換成等號解出所有根。

例如：的根為：

在數軸上從左到右按照大小依次標出各根。

例如：-1 1 2

畫穿根線：以數軸為標準，從“最右根”的右上方穿過根，往左下畫線，然後又穿過“次右根”上去，一上一下依次穿過各根。

觀察不等號，如果不等號為“>”，則取數軸上方，穿根線以內的範圍；如果不等號為“<”，則取數軸下方，穿根線以內的範圍。

例如：

若求的根。

在數軸上標根得：-1 1 2

畫穿根線：由右上方開始穿根。

因為不等號為“>”則取數軸上方，穿根線以內的範圍。即：或。

奇穿偶不穿：即假如有兩個解都是同一個數字。這個數字要按照兩個數字穿。如 兩個解都是1 ，那麼穿的時候不要透過1

可以簡單記為秘籍口訣：或“自上而下，從右到左，奇穿偶不穿”（也可以這樣記憶：“自上而下，自右而左，奇穿偶回”或“奇穿偶連”）。

運用序軸標根法解不等式時，常犯以下的錯誤：

出現形如的一次因式時，勿匆忙地“穿針引線”。

例1 解不等式

解，將各根－1、0、2、3依次標在數軸上，由圖1可得原不等式的解集為。

事實上，只有將因式變為的形式后才能用序軸標根法，正確的解法是：

【解】原不等式變形為將各根－1、0、2、3依次標在數軸上，由圖1，原不等式的解集為

出現重根時，機械地“穿針引線”。

例2 解不等式

解 將三個根－1、1、4標在數軸上，

原不等式的解集為。

這種解法也是錯誤的，錯在不加分析地、機械地“穿針引線”。出現幾個相同的根時，所畫的浪線遇到“偶次”點（即偶數個相同根所對應的點）不能過數軸，仍在數軸的同側折回，只有遇到“奇次”點（即奇數個相同根所對應的點）才能穿過數軸，正確的解法如下：

解 將三個根－1、1、4標在數軸上，畫出浪線圖來穿過各根對應點，遇到的點時浪線不穿過數軸，仍在數軸的同側折回；遇到的點才穿過數軸，於是，可得到不等式的解集

出現不能再分解的二次因式時，簡單地放棄“穿針引線”

例3 解不等式

解 原不等式變形為，有些同學同解變形到這裡時，認為不能用序軸標根法了，因為序軸標根法指明要分解成一次因式的積，事實上，根據這個二次因式的符號將其消去，再運用序軸標根法即可。

解 原不等式等價於

，

∵ 對一切x恆成立，

∴ ，由圖4可得原不等式的解集為