三餘弦定理
一個立體幾何領域的定理
設A為面上一點，過A的斜線AO在面上的射影為AB，AC為面上的一條直線，那麼∠OAC,∠BAC,∠OAB三角的餘弦關係為：
cos∠OAC=cos∠BAC×cos∠OAB (∠BAC和∠OAB只能是銳角）
通俗點說就是，平面α的一條斜線l與α所成角為θ1，α內的直線m與l在α上的射影l‘夾角為θ2，l與m所成角為θ，則cosθ=cosθ1*cosθ2.又叫最小角定理或爪子定理，可以用於求平面斜線與平面內直線成的最小角．
如上圖，已知OA是面α的一條斜線，。在α內過B作，垂足為C，連接OC。OA和α所成角，AC和AB所成角，OA和AC所成角。求證
證明：
∵
∴BC是OC在α上的射影
∵
∴（三垂線定理）
由三角函數的定義可知
∴
或利用三面角餘弦定理來證明。
在三面角中，設二面角為∠AB，易證
由三面角餘弦定理得
即
雖然在證明該定理的過程中，平面內的直線AC經過斜線AO和α的交點A（斜足），但實際上在α內任何一條與AC平行的直線l，都可以經過平移使得l和AC重合。而一旦l不經過點A，則l和OA互為異面直線（平面的一條斜線和平面內不經過斜足的直線互為異面直線），根據異面直線所成角的定義，l和OA所成角即為∠OAC。也就是說，利用該定理可以很方便地求出異面直線所成角。
例1 如圖，已知是正三稜柱，D是AC中點，若，求以BC1為棱，DBC1與CBC1為面的二面角α的度數.(1994年全國高考理科數學23題)
三餘弦定理應用例題1解答
三餘弦定理應用例題1
例2 已知Rt△ABC的兩直角邊．P為斜邊AB上一點，現沿CP將此直角三角形折成直二面角（如下圖），當時，求二面角大小．(上海市1986年高考試題，難度係數0.28)
三餘弦定理應用例題2解答
三餘弦定理應用例題2
三餘弦定理應用例題3
三餘弦定理應用例題3解答
輔助記憶：這三個角中，∠COB是最大的，其餘弦值最小，等於另外兩個角的餘弦值之積。斜線與平面所成∠AOB是斜線與平面內所有直線所成的角中最小的角。
（運用時可以背誦成，橫的角乘以豎的角等於斜的角）
PO是平面α的一條斜線，，垂足為H，l為平面α內任意一條直線（與OH的射影不重合也不平行），設PO與直線l所成角為θ，PO與平面α所成角為θ1，OH與直線l所成較小角為θ2，則
摺疊角公式（三餘弦定理）逆定理依舊成立
從空間一點O引出的三條射線OA、OB、OC滿足
，則面面BOC
