函數周期性

函數周期性的關鍵的幾個字“有規律地重複出現”。

當自變數增大任意實數時（自變數有意義），函數值有規律的重複出現。

假如函數(或其中),則說T是函數的一個周期.T的整數倍也是函數的一個周期。

1.概念的提出：將日曆中“星期”隨日期變化的周期性的出現和正弦函數值隨角的變化周期性的出現進行對比，尋求出兩者實質：當“自變數”增大某一個值時，“函數值”有規律的重複出現。

出示函數周期性的定義：對於函數，假如存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都成立，那麼就把函數叫做周期函數，不為零的常數T叫做這個函數的周期。

“當自變數增大某一個值時，函數值有規律的重複出現”這句話用數學語言的表達.

2.定義：對於函數,如果存在一個不為零的常數T,使得當x取定義域內的每一個值時,

概念的具體化：

當定義中的或cosx時，思考T的取值。

所以正弦函數和餘弦函數均為周期函數，且周期為

展示正、餘弦函數的圖象。

周期函數的圖象的形狀隨x的變化周期性的變化。（用課件加以說明。）

強調定義中的“當x取定義域內的每一個值”

令,則

所以, 即

所以或

強調定義中的“非零”和“常數”。

例：三角函數

中的T取2π

3. 最小正周期的概念：

對於一個函數f(x)，如果它所有的周期中存在一個最小的正數，那麼這個最小正數叫f(x)的最小正周期。

對於正弦函數, 自變數x只要並且至少增加到時，函數值才能重複取得。所以正弦函數和餘弦函數的最小正周期是2π。（說明：如果以後無特殊說明，周期指的就是最小正周期。）

在函數圖象上，最小正周期是函數圖象重複出現需要的最短距離。

4.例：求下列函數的周期：

（1）

分析：cosx中的自變數只要且至少增加到時，函數cosx的值才重複出現，因而函數3cosx的值也才重複出現，因此的周期是2π．（說明cosx前面的係數和周期無關。）

（2）

分析略，說明在x後面的角也不影響周期。

（3）

分析：因為, 所以自變數x只要且至少增加到時，函數值就重複出現。所以原函數的周期為π。（說明x的係數對函數的周期有影響。）

（4） （分析略）

（5）（分析略）

結論：形如或 (A,ω,φ為常數,) 的函數的周期為

周期函數性質：

（1）若是f(X)的周期，則-T也是f(X)的周期。

（2）若是f(X)的周期，則nT（n為任意非零整數）也是f(X)的周期。

（3）若T1與T2都是f(X)的周期，則也是f(X)的周期。

（4）若f(X)有最小正周期T*，那麼f(X)的任何正周期T一定是T*的正整數倍。

（5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分別是f(X)的兩個周期，則（Q是有理數集）

（6）若T1、T2是f(X)的兩個周期，且 是無理數，則f(X)不存在最小正周期。

（7）周期函數f(X)的定義域M必定是雙方無界的集合。

1.常函數為周期函數，但無最小正周期，其周期為任意實數。

2.Dirchlet函數:

復指數函數：,其中j為虛數單位，w為任意實數，t為自變數。

重要推論

● ● 如果函數在定義域內有兩條對稱軸則函數是周期函數，且周期（不一定為最小正周期）。

● ● 如果函數在定義域內有兩個對稱中心則函數是周期函數，且周期（不一定為最小正周期）。

● ● 如果函數在定義域內有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數是周期函數，且周期（不一定為最小正周期）。