黃用諏

童年

黃用諏，1913年6月2日生於廣東省廣州市。其父黃式漁，字樵仲，為廣東高等師範（即中山大學前身）之中國文學教授。黃用諏小學三年級時父親去世。

黃用諏以優異的成績，特別在數學方面，完成了小學及初中課程。初中畢業后，他通過入學考試跳過一級，進讀兩年制的大學預科班。

大學

1931年他考入中山大學數學天文系。當時他那一級只有4名學生，兩名主修天文，兩名主修數學。但教授卻有4位，即何衍睿，劉俊賢，袁武烈及胡金昌。在中山大學四年期間由於他成績優異，故都免交學費。且於1935年大學畢業時他同時取得優學獎及論文獎。

1935年畢業后，他除了留校當助教外，由袁武烈推薦兼在廣東省陸地測量學校任教。

留學

1938年6月，中英庚款留英公費獎學金考試在中國五大城市同時舉行。原定在廣州舉行的考試，因當時廣州正受日本飛機的空襲，改在距廣州不遠的香港大學校內舉行。考生共54人，考試3天，每天考兩科，每科考3小時。考試結果3個月後在全國各大報章公布。黃用諏為全國唯一考取數學科獎學金者。隨後他便乘客輪赴英國倫敦大學之英皇學院跟隨E.T.戴維斯（Davies）學習微分幾何。他只用一年零九個月的時間就完成了博士學位的課程。其間除了完成了博士論文外，還有4篇著作被水準甚高的數學刊物接受發表。

由於獎學金是為期3年，他特別獲得批准可以用餘下的時間赴美國繼續做研究。他分別訪問了普林斯頓大學及麻省理工學院，因而認識了一些著名的數學家如L.P.艾森哈特（Eisenhart），D.J.斯特羅伊克（Struik）及N.維納（Wiener）等人。

深造

1941年獎學金期滿后，由於當時太平洋戰爭日益激烈不能回國，黃用諏惟有繼續留在美國。1943年他由麻省理工學院轉往賓夕法尼亞大學做研究及任教，在此期間，黃用諏初遇華裔數學大師陳省身，之後兩人成為好友，並時常得他的指導和幫忙。1945年黃用諏與華僑陳桑蓮女士結婚。其後兩人育有兩子，即可范及俊豐。

1947年黃用諏返回中山大學任教授，學生中包括陸啟鏗及梅尚明兩人。同年由於他在黎曼幾何方面的重大貢獻，獲得倫敦大學頒發的科學博士學位。翌年他接受香港大學的聘請成為該校數學系戰後第一位教授兼系主任。當時該系除了他之外，只有一位講師及一位助教，而整間香港大學亦只有兩名華籍教授。

在香港大學就任后，黃用諏除了繼續努力研究外，還致力於提高數學系的學術水平。他首先發信到英國、美國及加拿大的一些著名的大學查詢有關的教學大綱及課本，作為課程改革的參考。他又向學校建議聘請英國一些著名大學的教授為校外主考，以便能比較香港大學及其他大學的學術水平。那時的香港大學規模較小，為了方便，經常是由校長去英國親自聘請教師。黃用諏建議學校應成立一個教師遴選委員會去主持聘請教師的工作。其後數學系能聘請不少優秀的教師與此不無關係。黃用諏就任時，大學圖書館只有兩種較次要的數學刊物，他向學校爭取增訂不少重要的刊物，為以後數學系的師生從事研究打下基礎。

延長進修

黃用諏教授中英庚款留英公費獎學金入選證書

黃用諏深切明白學術進修對科研工作的重要性，因此他特地向校長申請了為期一年的進修假期，於1958至1959年到美國普林斯頓高等研究院（Institute for Advanced Study）及芝加哥大學訪問及做研究。其間獲得不少重要的數學結果。回來后他更體會到進修假期的重要，因此向學校建議設立進修假期的制度（當時只有外籍教師才能享有所謂[探親假期]），經過他及其他一些人的努力，他的建議終被採納。

黃用諏一直都很關心香港大學以及整個香港的教育發展，他於1950至1953年任香港大學工程學院院長，於1963至1966年任香港大學副校長。1959年香港政府為了提高香港其他專業學院的水平，同時也為將於1963年建立的第二所大學（香港中文大學）打下基礎，成立了統一文憑委員會以統籌其他大專以上學院的考試事宜。該委員會做了大量提高學術水平的工作，而黃用諏被選為主席，直至1963年該委員會解散為止。1964-1991年他任香港中文大學校董。此外1963-1990年他亦任香港著名中學聖保男女中學校董。

學術交流

1966至1967年及1970年黃用諏先後兩次出訪美國及加拿大多間大學后，加強了他對學術交流的信念。在他的倡議下，成立了東南亞數學會，而他成為1972至1974年度的創會會長。之後也是在他倡議下，香港數學會於1979年成立。自此他即為該會的名譽會長。

1973年黃用諏年屆退休，但由於學校的挽留，他再次擔任教授之職3年，自1976年起他獲香港大學榮休教授銜。

為了表彰黃用諏對社會及教育的貢獻，1963年他獲英女皇頒授O.B.E.勛銜。1968年獲香港大學頒授榮譽科學博士學位。1979年獲香港中文大學頒授榮譽文學博士學位。

由於黃用諏悉心致力於教育事業數十年，他培養了不少傑出的數學工作者，其中在世界最著名學府任教的大不乏人。為了祝賀老師的80歲大壽，他們都踴躍投稿到由陳啟元及瘳明哲主編的祝壽專著“Five Decades as a Mathematician and Educator——On the 80th Birthday of Professor Yung-Chow Wong”。該書已於1995年出版。

改進了一些著名的定理

黃用諏對數學的興趣，始於他中學念平面幾何的時期。在中山大學求學時，他即開始對有關三角形中許多有趣的定理，提出問題然後尋找答案，因而在這方面得出一些頗為深入的結論。及后在漫長的教學實踐中，他對一些教科書的定理總是反覆思索如何改進一些結果。

1941年，他在一篇他的早期著作中，敘述了一系列三角形的結果。其中一條定理是這樣的：

定理1 給定三角形C1C2C3，若在任意一三角形A1A2A3的邊上作三角形B1A2A3，B2A3A1，B3A1A2，則三角形B1B2B3與三角形C1C2C3相似的充要條件為：有一點D存在，使三角形B1A2A3等依次和三角形DC3C2等相似。

這定理包括了著名的邁內勞斯（Menelaus）定理為其特殊情形。在同一篇文章中，還有另一相似的定理，把切瓦（Ceva）定理視為其特殊情形的。

後來，黃用諏又環繞著其他較難的平面幾何定理作了不少的研究。他推廣了J.道格拉斯（Douglas）和B.H.諾伊曼（Neumann）1940年關於多邊形的工作。他也曾啟文討論了X.莫利（Morley）關於三角形的三分角線定理的逆定理。

初等微分幾何的教科書，常討論空間曲線為球面曲線的條件。但這個提法並不完善，因為我們接觸到的曲線，有時在某些點上k2為零。1963年，黃用諏給出以下較佳的提法。

定理2 空間曲線是球面曲線的充要條件是

（i）k1全不為零（因而定義了k2）時，及

（）存在實函數f適合

此定理為後來各方面研究球面曲線提供不少方便，這包括了S.布勞爾（Breuer）與D.高特萊布（Gottlieb）（1971）的工作，黃用諏自己進一步的工作，R.L.畢曉普（Bishop）（1975）的工作及E.克利切革（Kreyszig）與A.潘代爾（Pendl）在仿射微分幾何方面的工作。

充實了黎曼幾何的內容

在n維空間上給出二階張量gij。若n×n矩陣[gij]是對稱和正定的，就定義了一個n維黎曼空間。gij稱為黎曼空間的度量。另一方面，假如[gij]是非退化和不定的，則稱空間為偽黎曼空間。20世紀初愛因斯坦在創立他的相對論時，就使用了偽黎曼空間中稱為張量分析的數學工具。因此，在20世紀二三十年代，黎曼空間和偽黎曼空間上的微分幾何，成為了數學界的熱門課題。

黃用諏的博士論文，題為“黎曼空間上的廣義螺旋線”，完成於1940年。接著在整個40年代，他在黎曼空間和偽黎曼空間上作了多方面的工作。這包括廣義螺旋線的理論，弗倫奈（Frenet）公式，補子空間，愛因斯坦（Einstein）空間的全臍點超曲面，保形歐氏空間的標度超曲面，擬正交標架，四維常曲率空間上的曲面理論等等。這些工作，大大地充實了當時黎曼幾何的內容。

開創了循環張量的整體理論

設n維黎曼空間Vn的曲率張量為。對進行共變微分，得出它的共變導數。在1950年，1951年，H.S.羅斯（Ruse）及A.G.瓦爾克（Walker）對作了廣泛研究。

在微分幾何理論中，有一類比黎曼空間更廣泛的空間，稱為仿射聯絡空間。概括來說，在黎曼空間，我們是沿曲線上量度長度，而在仿射聯絡空間，我們是沿曲線把向量或張量平行移動。每一個黎曼空間可視為仿射聯絡空間，而在仿射聯絡空間我們可進行共變微分。黃用諏注意到（1）也可作為仿射聯絡空間的條件。但適合（1）的非黎曼的仿射聯絡空間是否真正存在呢？這問題在1953年黃用諏的一篇文章中，終於得到肯定的答案。

但由於當時未有適當的數學工具，對於這些新發現空間的研究停滯不前。這情形延至20世紀60年代初黃用諏建立了微分流形上循環張量的整體理論才有突破。

事實上，在20世紀50年代初期，微分幾何研究的方向，已出現了根本的變化。人們把微分幾何傳統上研究的n維空間，糅合了拓撲空間的概念，得出一個新的研究對象，稱為n維微分流形。這以前，人們研究的是微分流形的局部性質，而20世紀50 年代起則著重研究流形的大範圍的性質，稱為整體微分幾何學。陳省身在這時期對整體微分幾何作了開創性的工作。為了更好理解流形M，還要研究M上各點的各標架的全體。這集合FM是一個n+n2維的流形，稱為M的標架叢。則M的張量場可看成FM上的一組函數。古典的仿射聯絡空間，現在給看成為流形M上給予一個線性聯絡。它把FM分拆為一些叫和樂叢的子流形。

此外，他還利用FM來敘述線性聯絡有循環曲率張量或循環撓率張量的充要條件。黃用諏後來還對無撓且具循環曲率張量的線性聯絡作了大量研究工作。

等斜平面與廣義克利福德平行

設R2n為2n維實歐氏空間，在R2n上考慮兩個n維平面A，B，它們之間有n個夾角。這些夾角完全決定了A，B在R2n上的相對位置。假如這n個夾角都相等，則稱A，B為等斜的。

在四維空間R4上的曲面稱為R曲面，是指在某正交坐標（x1，x2，x3，x4）下，曲面方程是x3=x3（x1，x2），x4=x4（x1，x2），而x3+ix4是x1+ix2的解析函數。S.克維涅夫斯基（Kwietniewski）（1902）有這樣的定理：R4的曲面是R曲面的充要條件是其切平面都是等斜的。這定理成為黃用諏另一系列工作的開始。

為了考慮克維涅夫斯基定理在高維空間的情形，黃用諏系統地建立了R2n的n維平面的理論。這些工作收入在1961年美國數學會為其出版一本專著（memoir）。在該著作中關於等斜平面最重要的定理是這樣的：

設在R2n上選定正交坐標系（x，y）=（x1，…，xn，xn+1，…，x2n），則任何包括y=0的極大的相互斜n維平面集合相合於以下n維平面集合：其平面的方程是

y=x（λ0I+λ1B1+…+λpBp），

式中各λ為參數常數，而（B1，…，Bp）是矩陣方程

Bh+B′h=0，，BhBk+BkBh=0，h，k=1，2，…，h≠k （3）的極大解。

方程（3）早在A.胡爾維茨（Hurwitz）二次型的工作已出現過。黃用諏找出了這方程組的所有極大解。因此對每個n，他能知道非相合的p個參數的極大相互等斜平面集合的個數。

由上述定理可得一些有趣結果。例如，假如Φ是一個p維極大相互等斜平面集合，則通過R2n的一組平面，最多只有Φ的一個n維平面。可以證明，經過一個一維平面有且僅有Φ的一個n維平面，只在R2n=R4，R8或R16時出現，且p=n。這三個情形，可看成是球面的霍普夫（Hopf）纖維化

S3→S2，S7→S4，S15→S8

在R2n上實現的情形。

等斜平面另一重要應用，是在橢圓幾何上的。給出n維射影空間，可用適當方法定義兩點距離，從而把它轉為距離空間，稱為n維橢圓空間ELn。1873年W.克利福德（Clifford）在EL3中發現一些有趣的平行性質，後來稱為克利福德平行。差不多一百年來，一般的觀點認為克利福德平行是EL3的孤立現象，在高維的EL”是沒有類似性質的。

黃用諏在上述專著中，藉助了R2n上兩等斜平面來定義EL2n-1上兩n-1維平面的克利福德平行。這樣，他成功地把克利福德平行的現象，推廣到任意維的EL2n-1上。受到他這工作的影響，1971年J.A.梯利爾（Tyrrell）和J.G.西坡爾（Semple）從復射影幾何的觀點出發，再度研究了廣義克利福德平行這一現象。

黃用諏後來寫了一本書，就R4上等斜2維平面和EL3上的克利福德平行，作了較簡單的介紹。

統一處理格拉斯曼流形和嘉當域的微分幾何

黃用諏1961年的專著面世后，帶動了這方面的研究。1963 年J.A.沃爾夫（Wolf）把書中主要結果推廣到複數域和四元數體上。後來D.B.夏皮羅（Shapiro）研究了示性數不等於2的任意域上的等斜平面。黃用諏後來則統一地發展了歐氏空間和偽歐氏空間的n維平面的幾何，及格拉斯曼流形和嘉當域的微分幾何。

設F是實數域R、複數域C或四元數體HoF上的n+m維向量空間，如加上一個正定的埃爾米特（Hermite）內積，則稱為歐氏n+m維空間Fn+m。這空間上n維平面的全體，經適當處理，構成一個F維數是mn的微分流形，稱為格拉斯曼流形Gn（Fn+m）。嘉當及後來K.萊希特魏斯（Leichtweiss）（1961）證明了當F=R或C時，Gn（Fn+m）有唯一的不變黎曼度量（G2（R4）除外）。黃用諏則用他的歐氏空間理論，重新在Gn（Fn+m）中定義黎曼度量：

首先，如R2n的情形，黃用諏證明了Fn+m上兩個n維平面間有n個夾角。取Gn（Fn-m）中兩個相鄰元素A，B，它們是Fn+m上相鄰的n維平面。設他們的夾角為dθ1，…，dθn。把A，B間距離定義為

（dθ1）2+（dθ2）2+…+（dθn）2 （4）

這時（4）可看成是Gn（Fn+m）上的黎曼度量，且對Gn（Fn+m）的運動群不變。在F=R或C時（G2（R4）除外）我們便得回嘉當及萊希特魏斯的不變黎曼度量。

這樣看待Gn（Fn+m）的度量，優點在於它反映了流形上相鄰兩點作為Fn+m上相鄰兩n維平面的幾何性質。在很多問題上，這帶來了額外的方便。黃用諏用這方法得出很多Gn（Fn+m）的新的微分幾何結果。

現在談談指標為m的偽歐氏空間。這是指域F上附有埃爾米特內積的n+m維向量空間，且存在n維平面而不存在n+1維平面使誘導至這些平面上的內積是正定的。當誘導至n維平面上的內積是正定時，我們稱該平面為歐氏平面。

第一嘉當域DI（）是指上所有n維歐氏平面的全體。它是一個流形。若對上的n維歐氏平面加上其他限制，還可定義第二及第三嘉當域DⅡ（）及DⅢ（）。

下列4類嘉當域，DⅠ（），DⅡ（），DⅢ（）和DⅠ（）正是多復變數函數論中著名的4種典型域。這些典型域都存在唯一的不變黎曼度量，即著名的伯格曼（Bergman）度量。華羅庚及C.L.西格爾（Siegel）等對此有過研究。

黃用諏把處理Gn（Fn+m）的方法引申到這些嘉當域上來。他證明了上一對n維歐氏平面同樣有n個夾角。於是利用（4），便可在各嘉當域上引進不變黎曼度量。在典型域上，由於不變黎曼度量的唯一性，黃用諏的方法給予伯格曼度量一個很好的幾何解釋。同樣地，黃用諏得出很多嘉當域的新的微分幾何結果。1969年，他證明了所有嘉當域（DⅡ（）及DⅢ（）除外）是愛因斯坦空間。當時很多專家對此是頗感驚訝的。

考慮n維流形M上各點的各切向量的全體。這集合TM是一個2n維的流形，稱為M的切叢。由於M上的微分幾何與TM上的微分幾何關係密切，因此在20世紀60年代和70年代，人們對TM上的微分幾何有很多研究，且在TM上構造了各式各樣的黎曼度量，但總是看不到一個統一的構造TM上度量的方法。

切叢上的微分幾何

在70年代中期，黃用諏與E.M.帕特森（Patterson）和莫錦屏在這方面也作了深入的研究。他們引入了TM上M張量和M聯絡兩個概念。利用這些概念，他們得出一條關於TM上黎曼度量的結構的定理。從這定理可得出差不多所有已知的TM上的黎曼度量。此外，利用M張量和M聯絡，也可把TM上其他很多概念作較為簡潔的處理。

1913年6月2日 出生於廣東省廣州市。

1931-1935年 中山大學數學天文系，獲理學士學位。

1935-1938年 任中山大學助教。

1938年 考取中英庚款留英公費獎學金，赴英國深造。

1940年 獲倫敦大學哲學博士學位。

1940-1947年 先後在美國的普林斯頓大學，麻省理工學院，賓夕法尼亞大學做研究及教學。

1947年 獲倫敦大學科學博士學位。

1947-1948年 任中山大學教授。

1948-1976年 任香港大學講座教授，其中絕大部分時間兼任系主任。

1950-1953年 任香港大學工程學院院長。

1958-1959年 美國普林斯頓高等研究院訪問研究員，並在芝加哥大學做研究。

1963-1966年 任香港大學副校長。

1964-1991年 任香港中文大學校董。

1966-1967年 赴美國加州大學，在伯克利及洛杉磯分校做研究。

1968年 獲香港大學榮譽科學博士學位。

1970年 分別赴加拿大的加格利大學及美國的夏威夷大學做研究。

1972-1974年 東南亞數學學會的創會會長。

1976 香港大學數學系榮休教授。

1979年 獲香港中文大學榮譽文學博士學位。

1979年 香港數學會榮譽會長。

2004.5.13 去世

黃用諏教授不但是傑出的幾何學家，而且還是傑出的教育家。他言傳身教，培養了不少出色的數學家和數學教師，為香港及東南亞培養了大量的數學專門人才。在他的領導下，香港大學數學系取得了長足的進步。黃教授還是“東南亞數學會”、“香港數學會”的創始人，他促成了這兩個學術組織的建立，促進了東南亞各地的學術交流。他被推選為“東南亞數學會”創會會長和“香港數學會”的榮譽會長。