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圓心

數學術語

徠圓心是圓的中心,即到圓的邊緣距離都相等且與圓在同一個平面的點。

名稱的起源


圓心即圓的中心。1607年,在利瑪竇徐光啟合譯的《幾何原本》(卷一)中,將圓心寫作“圜心”。“圓心”這種寫法出現在後,如1857年偉烈亞力編《六合叢談》十:“地必不在中心也,如圖,甲乙丙丁平圓為太陽道,戊為地球心,己為圓心。”1859年艾約瑟譯《重學》卷十一:“午為圓心,午子諸線為半徑,圓心以地心速下行,與各物下行同半徑以平速漸長。設拋物方向不在一個面上,則歷若干秒各物俱在立圓周。”1873年丁韙良等《中西聞見錄》第8號:“法平分甲乙丙三角作線抵各邊交於丁,即丁為容圓心,乃以每角甲乙丙點各為心,丁為界,運規度至兩邊。”

基本定義


平面內與一個定點的距離等於定長的點的集合叫做圓,其中定點是圓心,如圖1中的O點,定長是圓的半徑。
圓是一種特殊的曲線,它既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,圓的任意一條直徑所在的直線都是它的對稱軸,圓心是它的對稱中心,而且一個圓繞圓心旋轉任意一個角度,都能與原來的圖形重合。

相關概念


(1)連結圓上任意兩點的線段叫做弦,經過圓心的弦叫做直徑;直徑是最大的弦,它的長是半徑的2倍。
(2)弦到圓心的距離叫做弦心距。
(3)圓上任意兩點間的部分叫做圓弧;任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧,每一條弧都叫半圓。
(4)圓心相同,半徑不相等的兩個圓叫做同心圓;圓心不相同,半徑相等的兩個圓叫做等圓。在同圓或等圓中,能夠互相重合的弧叫做等弧,等弧不只是指弧的長度相等,還應包括弧的彎曲程度(曲率)相同,因此,在不等的圓中不存在相等的弧。
(5)頂點在圓心的角叫圓心角,在同圓或等圓中,圓心角、弧、弦、弦心距之間的關係是:
圓心角等所對的弦等弦心距相等。
小於180°的圓心角大所對的劣弧大所對的弦大弦心距小。
當角的度數與弧的度數相等時,不能說角與弧相等,只能說他們的度數相等,因此不能出現這樣的式子。“圓心角相等,則所對的弧相等”的前提是在同圓或等圓中,如圖2,弧AB與所對的圓心角相等,它們的度數也相等,但弧的長度不等。
(6)頂點在圓心,兩邊與圓相交的角叫做圓周角,圓周角的度數等於它所對弧的度數的一半,一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半。同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧也相等;半圓所對的圓周角是直角;90°的圓周角所對的弦是直徑。
(7)頂點在圓上,一邊與圓相交,另一邊與圓相切的角叫做弦切角。圓周角與弦切角的頂點都在圓上,圓周角的兩邊都是過頂點的弦,而弦切角的一條邊是過頂點的弦,另一條邊是過頂點的切線.弦切角等於它所夾的弧對的圓周角,弦切角的度數等於它所夾的弧的度數的一半,兩個弦切角所夾的弧相等,這兩個弦切角相等。
在解與圓有關的問題時,常常過半徑或直徑的端點做圓的切線,造出弦切角,找出等量關係

判斷點和圓的位置關係


圓是一條封閉曲線,一個圓把平面上所有的點分成圓內的點、圓上的點、圓外的點三種點的集合,並有:
圓內的點與圓心的距離小於半徑的點;
圓上的點與圓心的距離等於半徑的點;
圓外的點與圓心的距離大於半徑的點。

確定一個圓的基本條件


(1)確定一個圓必須確定圓心、半徑,圓心可確定圓的位置,半徑可確定圓的大小;
(2)不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓。
徠經過三角形的三個頂點可以做一個圓。這個圓叫做三角形的外接圓,這個圓的圓心叫做三角形的外心,三角形的外心是三角形三邊的垂直平分線的交點,這個三角形叫做這個圓的內接三角形。