毛球定理

具體來說，如果f是定義在一個單位球上的連續函數，並且對球上的每一點p，其函數值是一個與球面在該點相切的向量，那麼總存在球上的一點，使得f在該點的值為零。直觀上（三維空間）可以想象為一個被“撫平”的“毛球”。這個定理最著名的陳述也正是“永遠不可能撫平一個毛球”。這個定理首先在1912年被布勞威爾證明。

實際上，根據龐加萊·霍普夫定理，三維空間中的向量場的零點處的指數和為2，即二維球面的歐拉示性數，因此零點必然存在。對於二維環面，其歐拉特徵數為0，因此“長滿毛的甜甜圈”是有可能被“撫平”的。推廣來說，對於任意的正則的偶數維緊流形，若其歐拉示性數不為0，則其上的連續的切向量場必然存在零點。

我們考慮常規的歐幾里得空間里的一個單位球：

其上的拓撲為歐幾里得范數誘導的拓撲。這是一個n維的連通的緊子流形。直覺上，對一個單位向量，它在單位球上的對應點可以用過並且與其正交的一個中的仿射超平面來逼近。

上的一個連續的向量場可以定義為連續映射：，使得與正交。

定理：如果n為大於等於2的偶數，那麼所有Sn上的連續的向量場X必然有至少一個零點。

對於奇數維的情形，存在連續（甚至解析）的切向量場，且處處皆不為零。

毛球定理在氣象學上的一個有趣應用是對於氣旋的研究。如果我們把大氣的運動：風看為地球表面的一個向量，那麼這個向量場連續，因為覆蓋地球表面的大氣層可以看作是連續分佈的。作為理想化的模型，我們可以忽略空氣的垂直運動，因為其相對於地球的半徑是很小的，或者說我們只研究其水平分量（也是連續的）。

這樣看來，一個完全沒有風的點（空氣靜止）對應著向量場的一個零點。事實上，就物理上來說，空氣是不可能在某一個區域處處絕對靜止的，因為空氣總在運動。但毛球定理說明零點存在，因此必然有空氣靜止的點，並且是孤立點。

一個物理學上的解釋是這些零點對應著氣旋或反氣旋的中心（風眼）。在這樣的零點附近，風的分佈成螺旋形，但永遠不會從水平吹入中心或從其中吹出（只能上升或下降）。由毛球定理可以得出，地球表面永遠存在氣旋和風眼，在風眼處風平浪靜，但四周都有風環繞。