離差平方和

設x是一個隨機變數，令, 則 稱 η為x的離差。它反映了x與其數學期望Ex的偏離程度.

離差平方和與方差的關係

根據數學期望的性質，離差的數學期望總是等於0，沒有實用價值

通常用隨機變數x 離差的平方的數學期望來描述隨機變數x的分佈的分散程度，並把其稱為x的方差，記作Dx

總體方差，樣本方差

離差平方和的樣本計算

一般用計算機計算。以excel為例：先用Varp計算總體方差，然後,求出離差平方和。

通過對離差平方和的分解進行方差分析。統計學的實踐表明, 於某一特性量經過多次試驗的結果，一 般不會是同一數值, 是彼此有差異, 這種差異反映了這試驗受各種條件( 稱為因素) 制約. 離差平方和就反映了這種制約因素引起的差異大小. 為解決此問題, 英國統計學家Fisher提 出了方差分析的方法, 基本思想是將總的離差平方和分解為幾個部分, 每一部分反映了方差的一種來源, 然後利用F分佈進行檢驗 .

離差平方和的分解類似於物理學的平行軸定理

單因素方差分析，離差平方和的分解：

其中代表誤差平方和，代表總離差平方和，代表處理A的不同水平間的離差平方和

將所有數據用Varp求方差，

A的每個水平都有若干個數據，假設A有k個水平，對這k個組求各自的離差平方和，得到組內誤差：

各個組的誤差相加得到總的誤差平方和：

最後根據 求出A的處理平方和

這是方差分析的第一步。

如果 每個分組的數據一樣多，也可以這樣做：

求出每個組的平均值，對這些平均值求方差，再乘以N，得到

試想，如果每個分組只有一個數據，此時沒有組內平方和，所以，分組平均值的離差平方和就是 。

對於兩因素無交互的方差分析（假設共有N個數據）

和單因素相同，求出

先按照A的水平分組，求出每個組的平均值，對這些平均值求方差，再乘以N，得到

同理得到

最後求

接下來的F檢驗參見方差分析。

可以藉助EXCEL 電子表格 SPSS、SAS進行方差分析.