自然常數

e，作為數學常數，是自然對數函數的底數。有時稱它為歐拉數（Euler number），以瑞士數學家歐拉命名；也有個較鮮見的名字納皮爾常數，以紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾 (John Napier)引進對數。它就像圓周率π和虛數單位i，e是數學中最重要的常數之一。

它的其中一個定義是，其數值約為（小數點后100位）：“e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274”。

第一次提到常數e，是約翰·納皮爾(John Napier)於1618年出版的對數著作附錄中的一張表。但它沒有記錄這常數，只有由它為底計算出的一張自然對數列表，通常認為是由威廉·奧特雷德(William Oughtred)製作。第一次把e看為常數的是雅各·伯努利(Jacob Bernoulli)。

已知的第一次用到常數e，是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通信，以b表示。1727年歐拉開始用e來表示這常數；而e第一次在出版物用到，是1736年歐拉的《力學》(Mechanica)。雖然以後也有研究者用字母c表示，但e較常用，終於成為標準。

用e表示的確實原因不明，但可能因為e是“指數”(exponential)一字的首字母。另一看法則稱a，b，c和d有其他經常用途，而e是第一個可用字母。不過，歐拉選這個字母的原因，不太可能是因為這是他自己名字Euler的首字母，因為他是個很謙虛的人，總是恰當地肯定他人的工作。

以e為底的指數函數的重要方面在於它的函數與其導數相等。e是無理數和超越數（見林德曼—魏爾施特拉斯定理(Lindemann-Weierstrass)）。這是第一個獲證的超越數，而非故意構造的（比如劉維爾數）；由夏爾·埃爾米特(Charles Hermite)於1873年證明。

其實，

超越數主要只有自然常數(e)和圓周率(π)。自然常數的知名度比圓周率低很多，原因是圓周率更容易在實際生活中遇到，而自然常數在日常生活中不常用。

融合e，π的的歐拉公式，也是超越數e的數學價值的最高體現。

自然常數一般為公式中乘方的底數和對數的底。為什麼會這樣，主要取決於它的來歷。

自然常數的來法比圓周率簡單多了。它就是當 時函數 值的極限。

即： 。

同時，它也等於。注意， 。

自然常數經常在公式中做對數的底。比如，對指數函數和對數函數求導時，就要使用自然常數。函數 的導數為。函數 的導數為。

因為e=2.7182818284... ，極為接近循環小數2.71828(1828循環)，那就把循環小數化為分數271801/99990，所以可以用271801/99990表示為e最接近的有理數約率，精確度高達99.9999999(7個9)% 。

由均值不等式，有

即序列 單調上升；另一方面，我們嘗試證明。即要證，由均值不等式得

又明顯有，故 成立，所以 成立。

故 單調上升有上界，即 收斂。

證法1

令，易知

則已知 收斂於，即

即

所以， ，不妨設，則有

即，有

又易知對固定的 和，有

所以，對此給定， ，當 時，有

即，當 時，有，即

即

證畢.

註：由該證法可以看出，對任意正數序列，若存在一個收斂數列，使得

則 收斂，且極限為 .

證法2

欲證，即要證

另一方面，又有

則有

故有

證畢.

泰勒公式展開

已知函數 存在任意階的導數。將其在點 處進行泰勒展開，有

取Peano形式的余項

令上式，有

故有

即得

由此就可根據上式求解出 的具體數值

限制精度

但是在應用中我們需要的是 的具有某位精度的數值，比如說要求 的小數點前2000位的準確數值。此時Peano余項不夠用了。我們換一個余項，例如——Lagrange余項：

其中。將 與 代入，得

所以

故只 要令，求解出滿足這個不等式的任意一個，然後按照這個 計算

便得 的小數點后t位的準確數值

自然常數e在科學上有廣泛應用。以下舉幾例：

1：

所有大於2的2n形式的偶數存在於為中心的共軛奇數組，每一組的和均為2n,而且至少存在一組是共軛素數

可以說 是素數的中心軸，只是奇數的中心軸。

2：素數定理

自然常數也和質數分佈有關。有某個自然數a，則比它小的質數就大約有 個。在a較小時，結果不太正確。但是隨著a的增大，這個定理會越來越精確。這個定理叫素數定理，由高斯發現。

3：完全率

設完全圖 內的路徑總數為W，哈密頓路總數為h，則W/h=e，此規律更證明了e並非故意構造的，e甚至也可以稱呼為是一個完全率。與圓周率有一定的相類似性，好像極限完全圖就是圖論中的圓形，哈密頓路就是直徑似的，自然常數的含義是極限完全圖裡的路徑總數和哈密頓路總數之比。

4：雙曲函數

雙曲函數是自然常數價值的重要體現。它可以解決很多問題。如：

在空氣中由靜止開始下落的小石塊既受重力的作用又受到阻力的作用。設小石塊的質量為m，速度為v，重力加速度為g，所受空氣阻力假定與v2正比，阻尼係數為μ。設初始時刻小石塊靜止。求其小石塊運動速度與時間的關係。[3]

解：

小石塊遵循的運動方程為

mdv/dt=mg―μv2

（1）

這是Riccati方程，它可以精確求解。

依標準變換方式，設

v=（m/μ）/（z′/z） （2）

代入（1）式，再作化簡，有

z'' ―（gμ /m)z=0 （3）

（3）式的通解是

z=C1exp（√gμ /m t）+ C2exp（－√gμ /m t）（4）

其中，C1和C2是任意常數。

由於小石塊在初始時刻是靜止的，初始條件為

v（0）=0 （5）

這等價於

z′（0）=0 （6）

因此，容易定出

C2=C1 （7）

將（7）式代入（4）式，再將（4）式代入（2）式，就可得

滿足初始條件的解

v=√mg/μ tanh（√μg/m t) （8）

我們可以作一下定性的分析。小石塊初始時刻靜止。因此，隨著時間增加，開始時小石塊速度較小，小石塊所受的阻力影響較小，此時，小石塊與不受阻力的自由落體運動情況相類似，小石塊加速度幾乎是常數。反映在圖1中，起始段t和v的關係是直線。當小石塊速度很大時，重力相對於阻力來說可以忽略，阻力快速增加到很大的數值，導致小石塊的速度幾乎不再增加。此時，小石塊加速度接近零，v幾乎不隨時間而變化。一段時間后，v相不多是一平行於t軸的直線。

一電荷量為q、靜質量為m0的粒子從原點出發，在一均勻電場E中運動，E=Eez沿z軸方向，粒子的初速度沿y軸方向，試證明此粒子的軌跡為[4]

x=（W0/qE）[cosh（qEy/p0c）―1] （1）

式中p0是粒子出發時動量的值，W0是它出發時的能量。

解：

帶有電荷量q的粒子在電磁場E和B中的相對論性的運動方程為

dp/dt=q（E+v×B） （2）

式中v是粒子的速度，p是粒子的動量

p=mv=mv0/√1－v2/c2 （3）

本題運動方程的分量表示式為

dpx=qE

dpy=0

dpz=0 （4）

解之，有

px =qEt+C1

py = C2

pz = C3 （5）

代入t=0時初始條件

px（0）=0

py（0）= p0

pz（0）= 0 （6）

定出積分常數后，可知

px=qEt

py= p0

pz= 0 （7）

粒子的能量為

W=mc2

=√p2c2+m02c4

=√（px2+ py2+ pz2）c2+m02c4

=√q2E2 c2t2+W02 （8）

因dx/dt=qEt/m=qEc2t/√q2E2 c2t2+W02 （9）

積分得

x=∫[qEc2t/√q2E2 c2t2+W02 ]dt

= [√q2E2 c2t2+W02 －W02]/qE （10）

又由（7）式得

dy/dt=p0/m=p0c2/√q2E2 c2t2+W02 （11）

積分得

y=∫[p0c2 /√q2E2 c2t2+W02 ]dt

=（p0c /qE）arsh（qEct/W0） （12）

或（qEct/W0）= sinh （qEy/ p0c） （13）

在（51）式和（54）式中消去t，有

x=（W0/qE）[√1+ sinh2（qEy/ p0c）－1 ] （14）

利用恆等變換公式

cosh2x―sinh2x=1 （15）

（55）式可以寫成

x=（W0/qE）[cosh2（qEy/ p0c）－1 ] （16）

（16）式是一種懸鏈線。

討論：

因雙曲餘弦泰勒級數展開式是

cosh（x）=1+x2/2!+x4/4!+x6/6!+…… （17）

當v/c →0時，保留前2項，得

x=（qE/2m v02）y2 （18）

（18）式是拋物線軌跡。《普通物理學》教材用經典牛頓力學求解，普遍會給有這個結果。這表示，非相對論確是相對論在v/c →0時的極限。或者說，（18）式成立的條件是v/c<<1，這也是牛頓力學的適用範圍。