正交群

歐氏平面內，所有正交變換的集合構成群，稱為正交變換群，簡稱正交群，它是一個三維群。

例如，歐氏平面上正交變換構成群，所以正交變換具有下列三個性質：

（1）恆等變換是正交變換

（2）正交變換的逆變換是正交變換。

（3）兩個正交變換的乘積仍然是正交變換。

一個圖形與經過正交變換所得到的對應圖形是合同的。由此可推出：合同具有反身性，對稱性和傳遞性，因而合同關係是一等價關係，它可將平面上所有的圖形分類，凡合同的圖形屬於同一等價類，歐氏幾何是研究等價類里一切圖形所共有的性質，圖形關於正交變換群下的不變性質所構成的命題系統就是歐氏幾何學。

研究圖形關於正交變換群下圖形的不變性質和不變數的幾何分支就是歐氏幾何。歐氏幾何是仿射幾何的子幾何，也是射影幾何的子幾何所以射影性質、仿射性質都是歐氏幾何的不變性質。此外，在歐氏幾何中還可以研究長度、角度等度量性質。