數學物理方法

本書是為工科院系本科工程數學課程而編寫的。全書由複變函數論、積分變換、特殊函數與數學物理方程三部分內容組成，共16章，分別介紹複數與複變函數、解析函數、複變函數的積分、解析函數的冪級數展開、留數理論及其應用、共形映射、傅里葉變換、拉普拉斯變換、特殊函數、數學物理定解問題、行波法與積分變換法、分離變數法、格林函數法及其他方法等內容.

本書兼顧數學理論的嚴謹性和物理背景的鮮明性，緊密結合電氣信息類、物理類等專業知識，介紹數學理論在工程、物理等實際問題中的應用，增強了數學理論的應用性、實用性.

ISBN：9787302305538

定價：35元

印次：1-1

裝幀：平裝

印刷日期：2012-12-11

作者：王培光、高春霞、劉素平、張群峰

前言

數學物理方法在物理學和電子信息、通信、自動化等很多工程技術領域中有廣泛而重要的應用. 本書是專門為電氣信息類等工科專業教學而編寫的，力求在講解基本數學理論的基礎之上，緊密結合電氣信息類、物理類等專業知識，增加介紹數學理論在工程、物理等實際問題中的應用，提高學生利用數學方法解決工程實際問題的能力，從而增強工程數學課程的應用性、實用性.

數學物理方法主要包括複變函數論、積分變換和特殊函數與數學物理方程等三部分內容.

複變函數論主要討論解析函數的微分、積分、冪級數展開、留數理論以及共形映射等內容。二階線性常微分方程的冪級數解法雖然是在解析函數的冪級數展開的基礎上得到的，但是由於這部分內容在教材中的主要作用是得到特殊函數，所以我們將冪級數解法放到了特殊函數部分.

積分變換主要介紹傅里葉變換、拉普拉斯變換和z變換，重點是傅里葉變換和拉普拉斯變換。在介紹積分變換的基本概念和性質的基礎之上，結合電氣信息類等專業知識，突出了積分變換的工程應用.

特殊函數與數學物理方程主要介紹工程中非常重要的兩類特殊函數——勒讓德函數和貝塞爾函數以及三類典型數理方程的定解問題求解。這部分有兩個特點：一方面，將特殊函數從數理方程部分分離出來並放在了數理方程之前，這樣可以使球坐標系與柱坐標系中的分離變數法的內容更簡潔、思想更突出、思路更流暢。另一方面，根據數理方程定解問題的類型將數理方程的求解方法進行了適當劃分，比如將積分變換法與行波法放在一章，用來介紹無界區域上的定解問題；在分離變數法的介紹中，將簡單的直角坐標和極坐標情形與複雜的曲面坐標即球坐標和柱坐標情形分開討論，通過比較二者的相同之處使學生領悟分離變數法的本質.

本書結構合理、重點突出、條理清楚，便於學生更好地領會和掌握教材的重點和難點.

本書在編寫過程中得到了河北大學電子信息工程學院和清華大學出版社的大力支持和幫助，在此表示衷心地感謝！

由於編者水平有限，書中難免有不妥和疏漏之處，懇請專家和讀者不吝賜教.

編者

2012年8月

第1篇複變函數論

第1章複數與複變函數

1.1複數的概念及其表示方法

1.1.1複數的概念

1.1.2複數的幾何表示

1.2複數的基本代數運算

1.2.1複數的四則運算

1.2.2複數的乘冪與方根

1.3複變函數

1.3.1區域的相關概念

1.3.2複變函數的概念

1.3.3複變函數的幾何意義

1.4複變函數的極限與連續性

1.4.1複變函數的極限

1.4.2複變函數的連續性

習題1

第2章解析函數

2.1複變函數的導數

2.1.1導數的概念

2.1.2求導法則

2.1.3微分的概念

2.1.4可導與連續的關係

2.1.5可導的必要條件：柯西？黎曼（Cauchy?Riemann）條件

2.1.6可導的充要條件

2.2解析函數的概念及充要條件

2.2.1解析函數的概念

2.2.2解析函數的運演演算法則

2.2.3函數在區域內解析的充要條件與判別方法

2.2.4解析函數與調和函數的關係

2.2.5解析函數的構建

2.3初等解析函數

2.3.1單值函數

2.3.2多值函數

2.4解析函數的應用——平面場的復勢

2.4.1用複變函數刻畫平面向量場

2.4.2平面靜電場

2.4.3平面穩定溫度場

習題2

第3章複變函數的積分

3.1複變函數積分的概念與基本性質

3.1.1複變函數積分的概念

3.1.2復積分的存在條件與計算

3.1.3復積分的性質

3.2柯西定理

3.2.1單通區域柯西定理

3.2.2不定積分

3.2.3復通區域柯西定理

3.3柯西積分公式與高階導數公式

3.3.1柯西積分公式

3.3.2高階導數公式

*3.3.3柯西積分公式的幾個推論

習題3

第4章解析函數的冪級數展開

4.1複數項級數與複變函數項級數

4.1.1複數項級數

4.1.2複變函數項級數

4.2冪級數

4.2.1冪級數的概念

4.2.2收斂圓與收斂半徑

4.2.3冪級數的性質

4.3解析函數的泰勒級數展開

4.3.1泰勒展開定理

4.3.2泰勒展開方法

4.4解析函數的洛朗級數展開

4.4.1雙邊冪級數

4.4.2洛朗展開定理

4.4.3洛朗展開方法

4.5孤立奇點的分類與判別

4.5.1孤立奇點

4.5.2孤立奇點的分類

4.5.3極點與零點的關係

*4.6解析函數在無窮遠點的性態

*4.7解析延拓

4.7.1解析延拓的概念

4.7.2唯一性定理

4.7.3解析延拓的方法

習題4

第5章 留數理論及其應用

5.1留數及留數定理

5.1.1留數的概念

5.1.2留數定理

5.1.3留數的計算

5.2應用留數定理計算實定積分

5.2.1形如

∫2π0R（cosx,sin x）dx

的積分

5.2.2形如

∫∞-∞f（x）dx

的積分

5.2.3形如，

∫∞0f（x）cosmxdx,

∫∞0g（x）sinmxdx（m>0）

的積分

*5.2.4實軸上有奇點的情形

*5.3留數在力學上的應用舉例

5.3.1電場內總電荷與功的計算

5.3.2機翼剖面的夏甫萊金升力公式

習題5

第6章共形映射

6.1共形映射的概念

6.1.1導數的幾何意義

6.1.2共形映射的概念

6.2分式線性映射

6.2.1分式線性映射的概念

6.2.2分式線性映射的分解

6.2.3分式線性映射的性質

6.3唯一決定分式線性映射的條件

6.4幾個初等函數所構成的映射

6.4.1冪函數

w=zn（n≥2為自然數）

6.4.2指數函數w=ez

6.5關於共形映射的幾個一般性定理

*6.6共形映射的應用

6.6.1熱傳導問題

6.6.2電位分佈問題

習題6

第2篇積 分 變 換

第7章傅里葉變換

7.1傅里葉級數

7.1.1周期函數的傅里葉展開

7.1.2奇函數與偶函數的傅里葉展開

7.1.3定義在有限區間上的函數的傅里葉展開

7.1.4複數形式的傅里葉級數

7.2傅里葉變換的定義及性質

7.2.1非周期函數的傅里葉展開問題

7.2.2傅里葉積分定理

7.2.3傅里葉變換的概念

7.2.4傅里葉變換的基本性質

7.3δ函數廣義傅里葉變換

7.3.1δ函數的定義

7.3.2δ函數的導數

7.3.3δ函數的性質

7.3.4廣義傅里葉變換

7.4傅里葉變換在頻譜分析中的應用

7.4.1周期函數的頻譜

7.4.2非周期函數的頻譜

*7.5小波變換介紹

習題7

第8章拉普拉斯變換

8.1拉普拉斯變換的概念

8.1.1拉普拉斯變換的引入

8.1.2拉普拉斯變換的概念

8.1.3一些常用函數的拉普拉斯變換

8.1.4拉普拉斯變換存在定理

8.2拉普拉斯變換的性質

8.3拉普拉斯變換的反演

8.3.1部分分式反演法

8.3.2查表法

8.3.3卷積定理法

8.3.4利用留數計算反演積分法

8.4拉普拉斯變換的應用

8.4.1利用拉普拉斯變換求解線性微分(積分)方程的步驟

8.4.2拉普拉斯變換應用舉例

*8.5z變換

8.5.1z變換與拉普拉斯變換的關係

8.5.2z變換的定義

8.5.3z變換存在定理

8.5.4z變換的性質

8.5.5z變換的應用

習題8

第3篇特殊函數與數學物理方程

第9章勒讓德函數

9.1二階線性齊次常微分方程的級數解

9.1.1二階線性齊次常微分方程的常點與奇點

9.1.2方程常點鄰域內的級數解定理

9.1.3方程正則奇點鄰域內的級數解定理

9.2勒讓德多項式的定義

9.2.1勒讓德方程的本徵值問題

9.2.2勒讓德多項式的級數表示

9.2.3勒讓德多項式的微分與積分表示

9.3勒讓德多項式的性質

9.3.1勒讓德多項式的母函數

9.3.2勒讓德多項式的遞推公式

9.3.3勒讓德多項式的正交歸一性

9.3.4廣義傅里葉級數

9.4連帶勒讓德函數

9.4.1連帶勒讓德函數的定義

9.4.2連帶勒讓德函數的微分表達式

9.4.3連帶勒讓德函數的母函數

9.4.4連帶勒讓德函數的遞推公式

9.4.5連帶勒讓德函數的正交歸一性

9.4.6連帶勒讓德函數的廣義傅里葉級數展開

習題9

第10章貝塞爾函數

10.1貝塞爾函數的定義

10.1.1貝塞爾方程的級數解

10.1.2三類貝塞爾函數

10.2貝塞爾函數的性質

10.2.1貝塞爾函數的圖形與特殊值

10.2.2貝塞爾函數的遞推公式

10.2.3貝塞爾函數的母函數

10.2.4貝塞爾方程的本徵值問題

10.2.5貝塞爾函數的正交歸一性

10.2.6廣義傅里葉級數

10.3虛宗量貝塞爾函數

10.3.1虛宗量貝塞爾方程

10.3.2虛宗量貝塞爾函數的表達式

10.3.3虛宗量貝塞爾函數的性質

10.4球貝塞爾函數

10.4.1球貝塞爾方程

10.4.2球貝塞爾函數的表達式

10.4.3球貝塞爾函數的性質

習題10

第11章數學物理定解問題

11.1數學物理方程的導出

11.1.1波動方程

11.1.2熱傳導方程

11.1.3穩定場方程

11.2定解條件與定解問題

11.2.1初始條件

11.2.2邊界條件

11.2.3定解問題及其適定性

11.3數學物理方程的分類

11.3.1二階線性偏微分方程

11.3.2含兩個自變數方程的分類

11.3.3含兩個自變數方程的化簡

11.3.4線性偏微分方程的疊加原理

習題11

第12章行波法與積分變換法

12.1一維波動方程的達朗貝爾解

12.1.1達朗貝爾（D?Alembert）公式

12.1.2解的物理意義

12.1.3定解問題的整體性

12.2傅里葉變換法求解定解問題

12.3拉普拉斯變換法求解定解問題

習題12

第13章分離變數法

13.1齊次泛定方程的分離變數

13.1.1一維波動方程的分離變數

13.1.2一維熱傳導方程的分離變數

13.1.3二維矩形區域內拉普拉斯方程的分離變數

13.1.4二維圓形區域內拉普拉斯方程的分離變數

13.2非齊次泛定方程的分離變數

13.2.1本徵函數展開法

13.2.2衝量定理法

13.2.3特解法

13.3非齊次邊界條件下的分離變數

13.4斯圖姆？劉維爾（Sturm?Liouville）本徵值問題

13.4.1斯圖姆？劉維爾型方程

13.4.2斯圖姆？劉維爾本徵值問題的一般提法

13.4.3斯圖姆？劉維爾本徵值問題的一般性質

習題13

第14章正交曲面坐標系中的分離變數法

14.1拉普拉斯算符在球坐標系和柱坐標系中的表達式

14.1.1球坐標系中拉普拉斯算符的表達式

14.1.2柱坐標系中拉普拉斯算符的表達式

14.2球坐標系中的分離變數

14.2.1拉普拉斯方程

的分離變數

14.2.2波動方程

與熱傳導方程

的分離變數

14.2.3亥姆霍茲方程

的分離變數

14.3柱坐標系中的分離變數

14.3.1拉普拉斯方程

的分離變數

14.3.2亥姆霍茲方程

的分離變數

習題14

第15章格林函數法

15.1泊松方程的格林函數法

15.1.1第一邊值問題（狄利克雷問題）

15.1.2第二邊值問題

15.1.3第三邊值問題

15.2用鏡像法和衝量定理法求格林函數

15.2.1用鏡像法求格林函數

15.2.2用衝量定理法求格林函數

15.3格林函數的一般求法

習題15

第16章其他方法介紹

16.1保角變換法

16.1.1保角變換及其性質

16.1.2幾種常用的保角變換

16.2變分法

16.2.1變分法的概念

16.2.2變分問題與微分方程的求解

習題16

附錄

附錄A勒讓德方程的級數解（9.2.7）和（9.2.8）在x=±1發散

附錄BΓ函數（第二類歐拉積分）

附錄C諾伊曼函數

附錄D傅里葉變換函數表

附錄E拉普拉斯變換函數表

附錄Fz變換函數表

附錄G高斯函數和誤差函數

部分習題答案

參考文徠獻