大學數學

本書是一本通俗易懂的適用於普通高等院校文科類、設計藝術類以及其他相關專業學生的大學數學教材。

本書是一本通俗易懂的大學數學教材，尤其適合文科及設計藝術類學生使用。內容包括了高等數學、線性代數及概率統計等大學生所需要掌握的基礎知識。在本書的編排過程中，特別注重了學生形象思維的培養，對某些較難理解的概念、原理，盡量用圖形、圖表的形式給出。同時，本書也兼顧了文科類、設計藝術類學生中學知識與大學知識的銜接。本書語言流暢、通俗易懂，內容生動、方法簡捷，便於應用. 本書適用於普通高等院校文科類、設計藝術類以及其他相關專業學生，也可供從事大學數學教學的教師及科研人員參考使用

本書是在對大學數學基本知識、教學內容與教學體系進行了長時間研究和實踐摸索的基礎上，結合任課教師及各方面的實際經驗、建議最終編寫而成，其初稿在北京理工大學人文社科、外語、設計藝術類專業已使用了三年，效果良好.

隨著信息社會的發展，數學在社會各個層面產生了巨大的影響. 對於文科學生而言，數學既是一個重要的工具，又是一種認識客觀世界的重要的基本思維方式. 面向文科學生的數學思維教育近年來得到了廣大學者的普遍重視和認同，隨著數學思想在文科領域滲透，數學的思想與方法在設計藝術類專業（工業設計、藝術設計等專業）學生中的培養和教育也逐步引起了大家重視. 北京理工大學是國內第一所要求所有設計藝術類學生都必修大學數學課程的高校，然而在我們選擇適合他們的教材時，發現現有文科大學數學教材大都面向經濟、管理類專業，針對人文社科類、設計藝術類的大學數學教材極為少見.

如何編寫一本符合我國高等教育體系下設計藝術類與文科類學生的通用教材，同時又能被這些學生喜歡，使他們真正學習到一些數學思想和方法，是一個長期探索的過程. 本書作者從2001年以來，一直從事文科、設計藝術類專業大學數學課程的講授工作，根據這些年來積累的經驗，我們越來越覺得文科大學數學除了介紹基本數學知識外，還應該高度重視數學思想的傳播，培養學生用數學方法和思維方式看待現實世界，並讓學生了解一些社會科學中十分重要的數學原理，這必將為學生今後的發展奠定堅實的基礎. 所以，編著一本針對上述要求的大學數學教材具有重要的意義，這不但能促進高等院校大學數學課程教學體系的改革，對於設計藝術類專業大學數學的課程設計、教學體系的研究也具有重要的價值.

本書的特色和價值主要體現在以下幾點：

（1）重視文科學生的特點，對比較重要的概念給出了較詳細的圖形描述；

（2）重視文科學生中學知識與大學數學知識的銜接；

（3）每章都有詳細的知識結構圖，便於學生從整體上來理解和學習.

我們曾共分兩個學期，每個學期48學時來講授本教材，在學時較少時可以將打“”號的內容略過不講. 在使用本教材進行教學時，任課教師也可根據學時數和學生的基礎，增加或者刪減一些內容，使教學活動更加有效.

本書入選北京理工大學“十二五”規劃教材. 在本書的撰寫過程中，北京理工大學數學實驗中心研究生李翠萍、邱偉、朱曼等同學對本書的全部內容進行了詳細的檢查和核對。在此表示感謝。由於學識與水平所限，本書的缺點和錯誤在所難免，敬請專家和讀者批評指正.

編者2011年3月

第1章集合與函數1

1.1集合2

1.1.1集合的概念2

1.1.2集合的表示方法2

1.1.3集合的運算及運算律3

1.1.4區間和鄰域4

1.2映射與函數5

1.2.1映射6

1.2.2函數6

1.3初等函數14

1.3.1基本初等函數14

1.3.2初等函數18

本章知識點19

習題121

第2章極限與連續24

2.1數列25

2.1.1數列的概念25

2.1.2數列的特性25

2.1.3數列xn=1+（-1）n-11n，n=1,2,…的變化趨勢25

2.2數列的極限26

2.2.1數列極限的概念26

2.2.2limn→∞xn=a的幾何解釋27

2.2.3收斂數列的有界性27

2.2.4子數列27

2.3函數的極限28

2.3.1當x→∞時函數f（x）的極限28

2.3.2當x→x0時函數f（x）的極限29

2.3.3函數極限的性質30

2.4無窮小量與無窮大量31

2.4.1無窮小量31

2.4.2無窮大量32

2.4.3漸近線33

2.5極限運演演算法則34

2.5.1極限的四則運演演算法則34

2.5.2複合函數極限的運演演算法則36

2.6極限存在準則兩個重要極限37

2.6.1極限存在準則37

2.6.2兩個重要極限39

2.7無窮小的比較41

2.8函數的連續性44

2.8.1函數的連續性44

2.8.2函數的間斷點47

2.9連續函數的運算與初等函數的連續性49

2.9.1連續函數的四則運算49

2.9.2複合函數的連續性49

2.9.3反函數的連續性50

2.9.4初等函數的連續性50

2.10閉區間上連續函數的性質52

2.10.1最值定理52

2.10.2介值定理54

本章知識點56

習題258

第3章導數及其應用61

3.1導數的概念62

3.1.1導數的定義62

3.1.2單側導數65

3.1.3導數的幾何意義65

3.1.4函數可導性與連續性的關係66

3.2導數的運演演算法則67

3.2.1基本初等函數的導數公式67

3.2.2導數的四則運演演算法則67

3.2.3複合函數的求導法則68

3.2.4反函數的求導法則68

3.3高階導數69

3.4微分70

3.4.1微分的定義70

3.4.2微分的運演演算法則72

3.4.3微分形式的不變性73

3.4.4微分在近似計算中的應用73

3.5微分中值定理74

3.5.1羅爾中值定理74

3.5.2拉格朗日中值定理75

3.6洛必達法則76

3.6.100型和∞∞型76

3.6.2其他未定型78

3.7函數的單調性與函數的極值80

3.7.1利用導數判斷函數的單調性80

3.7.2利用導數求函數的極值81

3.7.3函數的最值82

本章知識點83

習題386

第4章積分學89

4.1不定積分的概念89

4.1.1原函數89

4.1.2不定積分90

4.1.3不定積分的性質91

4.2換元積分法92

4.2.1第一類換元法（湊微分法）92

4.2.2第二類換元法94

4.3分部積分法96

4.4定積分98

4.4.1定積分概念的引入98

4.4.2定積分的幾何意義99

4.4.3定積分的性質100

4.5微積分基本公式100

4.5.1變上限定積分100

4.5.2牛頓萊布尼茨公式101

4.6定積分的換元法與分部積分法102

4.6.1定積分的換元法102

4.6.2定積分的分部積分法104

4.7反常積分105

4.7.1無窮區間上的反常積分105

4.7.2無界函數的反常積分106

4.8定積分的應用108

本章知識點110

習題4112

第5章常微分方程115

5.1常微分方程的基本概念116

5.2一階常微分方程117

5.2.1可分離變數的微分方程118

5.2.2一階線性微分方程119

5.3二階線性微分方程122

5.3.1二階線性齊次微分方程解的結構123

5.3.2二階線性非齊次微分方程解的結構123

5.3.3二階線性常係數齊次微分方程124

5.3.4二階線性常係數非齊次微分方程125

本章知識點127

習題5128

第6章線性方程組與行列式130

6.1二元一次線性方程組與二階行列式130

6.2三元一次線性方程組與三階行列式132

6.3n階行列式134

6.3.1n階行列式的表示134

6.3.2n階行列式的計算134

6.4行列式的性質135

本章知識點145

習題6146

第7章線性方程組與矩陣149

7.1線性方程組150

7.1.1二元一次線性方程組150

7.1.2三元一次線性方程組和多元一次線性方程組151

7.1.3線性方程組的表示與求解154

7.2矩陣154

7.2.1矩陣的定義154

7.2.2特殊的矩陣156

7.3矩陣的運算 157

7.3.1矩陣的相等157

7.3.2矩陣的加法158

7.3.3矩陣的數乘158

7.3.4矩陣與矩陣的乘法159

7.4方陣與行列式162

7.5逆矩陣163

7.6方程矩陣表示與求解169

7.6.1線性方程組的表示169

7.6.2線性方程組的求解169

7.6.3矩陣方程171

7.7高斯消元法172

7.8矩陣的初等變換176

7.8.1初等變換176

7.8.2初等矩陣177

7.8.3矩陣的等價關係與等價標準型180

7.8.4初等變換求逆矩陣181

本章知識點183

習題7185

第8章線性方程組解的結構188

8.1向量188

8.1.1向量的定義188

8.1.2向量的線性運算189

8.1.3向量的線性表出 190

8.1.4向量組的線性相關性192

8.1.5向量組的極大無關組193

8.2齊次線性方程組的基礎解系195

8.2.1解的向量表示195

8.2.2齊次線性方程組的基礎解系196

8.3非齊次線性方程組的基礎解系200

本章知識點203

習題8204

第9章事件的概率207

9.1隨機事件207

9.2隨機事件的關係與運算209

9.3事件的運算規則211

9.4隨機事件的概率212

9.4.1統計意義下的概率212

9.4徠.2古典概率213

9.4.3幾何概率215

9.4.4概率的公理化定義216

9.5條件概率與乘法公式219

9.6全概率公式與貝葉斯公式221

9.6.1全概率公式221

9.6.2貝葉斯公式224

9.7隨機事件的獨立性225

9.8n重伯努利概型228

本章知識點230

習題9232

第10章隨機變數及其概率分佈236

10.1隨機變數236

10.2離散型隨機變數的分佈238

10.3常見的離散型分佈241

10.3.1兩點分佈241

10.3.2二項分佈242

10.3.3泊松分佈243

10.4連續型隨機變數及其分佈244

10.5常見的連續型分佈247

10.5.1均勻分佈247

10.5.2指數分佈248

10.5.3正態分佈249

本章知識點250

習題10251

第11章隨機變數的數字特徵254

11.1離散型隨機變數的數學期望254

11.2連續型隨機變數的數學期望256

11.3隨機變數的方差258

*11.4大數定律與中心極限定理262

11.4.1大數定律262

11.4.2中心極限定理262

本章知識點263

習題11264

附錄A常用三角函數公式266

附錄B泊松分佈表268

附錄C標準正態分佈表271

習題參考答案與提示273

參考文獻2981.1