指數積分

對任意實數，指數積分有下定義：

，這個積分必須用柯西主值來解釋。

如果自變數是複數的情形，這個定義就變得模稜兩可了。為了避免歧義，我們使用以下的記法：

如果，則

其中，

收斂級數

其中γ是歐拉常數。

漸進（發散）級數

自變數的值較大時，用以上的收斂級數來計算指數積分是困難的。在這種情況下，我們可以使用發散（或漸近）級數：

指數和對數的表現

E1在自變數較大時的表現類似指數函數，自變數較小時類似對數函

數。

這個不等式的左端在圖中用紅色曲線來表示，中間的黑色曲線是E1(x)，不等式的右端用藍色曲線來表示。

與其它函數的關係

指數積分與對數積分li(x)的關係：

另外一個有密切關係的函數，具有不同的積分限：

可以延伸到負數：

我們可以把兩個函數都用整函數來表示：

此函數的性質：

指數積分還可以推廣為：

導數

函數En與E1的導數有以下簡單的關係：

然而，這裡假設了n是整數；複數n的推廣還沒有在文獻中報導，雖然這種推廣是有可能的。

復變數的指數積分

從定義中可以看出，指數積分與三角積分之間的關係：

圖中的黑色和紅色曲線分別描述了的實數和虛數部分。