線性二次型最優控制

使用二次型性能指標的線性系統最優控制。它可得到狀態線性反饋的最優控制規律，便於實現閉環最優控制，是應用廣泛的最優控制方式。

線性系統狀態方程及輸出方程為

x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) (1)

y(t)=C(t)x(t) (2)

式中x(t)為n維狀態向量;u(t)為p維控制向量;y(t)為q維輸出向量。設z(t)為理想輸出向量，與y(t)同維數，並定義

e(t)=z(t)-y(t) (3)

誤差向量。線性二次型最優控制問題的性能指標為

這裡，權函數F、Q(t)為正半定矩陣，R(t)為正定矩陣。假設tf固定。要求尋找最優控制u*(t)，使性能指標J為最小。被積函數的第一項表明誤差e(t)的大小，是非負的。其第二項表明控制功率的大小，對應於u≠0它恆為正。因此，對u(t)往往不需再加約束，而常設u(t)為自由的。性能指標的第一項則表示終值誤差。

系統狀態方程如式 (1)所示，u(t)不受約束，t固定，性能指標為

尋找最優控制u*(t)，使性能指標J為最小。

用極小值原理或動態規劃法，可得下列矩陣黎卡提微分方程(一階非線性微分方程)

P(t)=-P(t)A(t)-AT(t)P(t)+P(t)B(t)R-1(t)BT(t)P(t)-Q(t) (6)

其邊界條件為

P(tf)=F (7)

由式(6)解出P(t)后，可得最優控制規律為

u*(t)=-R-1(t)BT(t)P(t)x*(t) (8)

由式(8)可以看出，最優控制規律是一個狀態線性反饋規律，控制向量u*(t)由狀態向量x*(t)生成，構成狀態反饋，並且呈線性關係。這樣，能方便地實現閉環最優控制，這一點在工程上具有十分重要的意義。

P(t)是一對稱矩陣，一般都要由計算機求出方程(6)的數值解。P(t)是時間函數，即使線性系統是定常的，為了實現最優控制，反饋增益應該是時變的，而不是常值反饋增益。這一點與經典控制方法的結論有本質的差別。

可以求得性能指標的最小值為

tf=∞時的狀態調節器問題 定常系統方程為

x(t)=Ax(t)+Bu(t) (10)

這裡，A、B為常值矩陣，u(t)不受約束，性能指標為

Q、R為常值矩陣，Q為正半定的，R為正定的。求最優控制u*(t)，使性能指標J為最小。

對於這樣的系統，有(t)=0情況下的矩陣黎卡提方程

上式是矩陣黎卡提代數方程，它是非線性方程。求解該方程，可得最優控制為

性能指標的最小值也由式(9)求得。

輸出調節器問題 系統動態方程為式(1)、(2)，u(t)不受約束，t固定，性能指標為

式中F和Q(t)為正半定矩陣;R(t)為正定矩陣。求最優控制u*(t)，使性能指標J為最小。

可將這類問題轉化成等效的狀態調節器問題，得：當且僅當系統完全可觀測時，存在唯一的最優控制

其中，P(t)滿足下列矩陣黎卡提方程

輸出調節器的最優控制規律，並不是輸出量y(t)的線性反饋，而仍是狀態x(t)的線性反饋。僅由輸出反饋時，沒有充分利用全部信息，不能構成最優控制。

完全可控、可觀測的定常系統，t=∞時的輸出調節器問題，其最優控制存在並且是唯一的

P為下列矩陣黎卡提代數方程的解

系統動態方程為式(1)、(2)，x(t0)=x0，系統完全可觀測，理想輸出為z(t)，誤差向量為式(3)，性能指標為式(4)，u(t)不受約束，t固定，求最優控制u*(t)，使性能指標J為最小。

用極小值原理來求解，並設

λ*(t)=P(t)x*(t)-g(t) (20)

可寫出形如式(16)的黎卡提方程以及下式

其邊界條件為

從而得最優控制規律

對於線性定常系統，當理想輸出z(t)為常值、終端時刻tf極大但不為無窮大時，可以導出一個近似的最優控制規律如下，它具有很大的實用意義。

設系統狀態方程如式(10)所示，x(t0)=x0，輸出方程y(t)=Cx(t)，系統完全可控並完全可觀測，理想輸出z(t)=z0，tf足夠大，性能指標為

則其最優控制存在並唯一，為

其中P和g依次滿足下列兩式