高階微分
高階微分
二階以及二階以上的微分統稱為高階微分。
二階微分：若dy=f'(x)dx可微時，稱它的微分d（dy）為y的二階微分，當二階微分可微時，稱它的微分為三階微分，一般的，當y的n-1階微分可微時，稱它的微分為n階微分。
一階微分的定義：
設函數 在某個區間有定義，及 在這個區間內，如果
或者記為
即。
二階微分：
若 可微時，稱它的微分 為y的二階微分，記為，當 可微時，稱它的微分 為y的三階微分，記為。
一般地，當y的階微分 可微時，稱階微分的微分稱為n階微分，記作。
高階微分：二階以及二階以上的微分統稱為高階微分。
這裡dx的是x處的產生的增量，與變數x無關，視作常數，用同樣的方法，得
即y的n階微分等於它的n階導數乘上自變數的微分的n次方。
但對於複合函數我們就不能得出這一公式
這時才回能到前面導出的公式
這事實也說明高階導數不具有形式不變性。
（1）型：
解法：接連積分n次，得通解。
（2）型，不顯含未知數y：
解法：令。
（3）型，不顯含自變數x：
解法：令。
(1) 二階齊次方程解的結構：
形如（1）
定理1：如果函數是方程（1）的兩個解，那麼也是方程（1）的解（是常數）。
定理2：如果函數是方程（1）的兩個線性無關的特解，那麼就是方程（1）的通解（是常數）。
（2）二階非齊次線性方程的解的結構：
形如（2）
定理3：設 是（2）的一個特解，Y是與（2）對應的齊次方程（1）的通解，那麼
是二階非齊次線性微分方程（2）的通解。
（3）二階常係數齊次線性方程解法：
二階常係數齊次線性方程。
解法：由常係數齊次線性方程的特徵方程的根確定其通解的方法稱為特徵方程法。
微分方程： 。
特徵方程： 。
| 特徵根的情況 | 通解的表達式 |
實根 | |
實根 | |
復根 |
（4）n階常係數齊次線性方程解法：
特徵方程為：
| 特徵方程的根 | 通解中對應項 |
| 若是k重根r | |
若是k重共軛復根 |
（4）二階常係數非齊次線性微分方程解法：
通解： ，其中Y是對應其次方程的通解，是非齊次的特解，用待定係數法求特解。
1. 型：
設特解形式： ，其中 是與 同次的待定多項式。
不是特徵根；
是特徵單根；
是特徵重根；
2. 型：
設特解形式： ，其中是與是m次的多項式。
不是特徵方程的根；
是特徵方程的單根；