擬序關係
擬序關係
擬序關係亦稱偽序關係或前序關係，是一種重要的二元關係，指集合A上的自反的與傳遞的二元關係R，A稱為擬序集。擬序關係有下列特點： 1. 對角集EA⊆R，且當〈a，b〉∈R，〈b，c〉∈R時，〈a,c〉∈R；2. R 的矩陣(rij)λ主對角線上的元素全是1，且當rij=rjk=1時,rik=1；3. R的箭頭圖上，每個元素有一個從自己出發又指向自身的箭頭，且在有a到b的箭頭，b到c的箭頭時，就有a到c的箭頭。擬序關係的逆關係一定是擬序的，反對稱的擬序關係是偏序關係，但擬序關係可以不是偏序關係。
擬序關係是一種次序關係，比偏序關係的限制更嚴格一些。它是一種滿足反自反、反對稱與傳遞的關係。
設R是非空集合A上的關係，若R具有反自反性、傳遞性，則稱R是A上的擬序關係(Quasi-ordering relation)，記該關係R為<。若，可記作 ，讀作“a小於b”。
注意：這裡的“小於”不是指普通數的大小關係的<，而是指擬序的“小於”。x“小於”y的含義是：依照這個順序，x排在y的前邊。
例1，R是A上的整除關係，，顯然R是偏序關係，A中元素有以下關係：；2和3不可比。
例2實數集上的小於關係R是擬序關係。
證明：對任何一個實數x都不存在，所以R是反自反的。
對於任何實數，，如果，則必然不存在，所以R是反對稱的。
對於任何實數，，，如果，則必然，所以R是傳遞的。
定理1設尺是集合A上的擬序關係，則R是反對稱性。
證明: 設R不是反對稱的，則至少存在兩個元素 ，且因為R是傳遞的，所以這與R是反自反的特性相矛盾，因此R具有反對稱性。
從該定理，很容易得出以下結論：
(1) 由反自反性和傳遞性可以推出反對稱性。
(2) 擬序關係具有反自反性、反對稱性和傳遞性。
(3) 擬序和偏序的區別在於反自反性和自反性上，它們均具有反對稱性和傳遞性。
(4) 若R是偏序關係，則是擬序關係；若R是擬序關係，則 是偏序關係。即偏序是擬序的擴充，擬序是偏序的縮減。
(5) 擬序集合與偏序集合具有相同的哈斯圖。
基本信息
- 中文名
- 擬序關係
- 外文名
- quasi-orderingrelation
- 別名
- 偽序關係、前序關係
- 所屬學科
- 數學
- 屬性
- 一種重要的二元關係