函數空間

經典分析學處理問題往往泛言或零散地看待所考慮的函數。雖有時取符合於某種規定的函數類X，但沒有明確地把X當作幾何的對象。現代分析學的一般方法在於視Ω為拓撲空間或測度空間又以問題的需要規定類中映射（即函數）：Ω→A滿足的條件，諸如連續性、有界性、可測性、可微性、可積性等；從幾何學、拓撲學及代數學的角度，對X一方面賦與關於加法與數量乘法的封閉性，這裡加法為：ƒ∈X，g∈X→ƒ+g∈X，(ƒ+g)(x)=ƒ(x)+g(x)，對x∈Ω；數量乘法為：ƒ∈X，λ∈A→λƒ∈X，(λƒ)(x)=λƒ(x)，對x∈Ω（即X對通常函數的線性運算封閉）；另一方面使之成為拓撲空間，且兩方面又滿足一定的要求（例如線性運算關於拓撲是連續的等）。這樣，函數空間X通常也是拓撲線性空間。經典分析學研究中出現了許多重要的函數空間。對一些類型的函數空間，現已取得相當豐富的理論成就。

當Ω是拓撲空間，Ω上有界連續函數全體以極大模為范數時構成巴拿赫空間C(Ω)。特別當Ω是局部緊的，C(Ω)中具緊支集（函數ƒ的支集即集合{x∈Ω;ƒ(x)≠0}的閉包）的函數全體C(Ω)是C(Ω)一個不完備的線性子空間。當Ω是緊的，Ω上所有連續函數必有界，它們就構成C(Ω)。對緊空間Ω的特例

C(Ω)成為收斂序列全體所構成空間C。

當在Ω中定義了測度μ，在(Ω,μ)上可測並使在Ω上可積（1≤p<∞）的函數ƒ的全體，賦有范數時構成巴拿赫空間即勒貝格空間。

中序列{ƒ}收斂（稱為p次平均收斂）到ƒ即指。是一希爾伯特空間，ƒ，g∈的內積，在復值函數情況下的內積為

（10，φ(2s)≤Cφ(s)，則對某k>0使φ(k|ƒ(x)|)可積的函數ƒ全體所成集合取范數時成為一個巴拿赫空間，稱為奧爾里奇空間。當（1

在複平面C的區域Ω上全純函數的研究，引出一類函數空間，即哈代空間(p≥1)和與哈代空間有關的有界平均振幅空間（見BMO空間）。

函數空間

函數空間

設Ω為n維歐幾里得空間的子域，在C(Ω)中取l(=1,2,…,∞)階連續可微於Ω的函數ƒ，其全體記為。中具緊支集的函數集合記為。若Ω為的子域閉包，則ƒ的條件改為對所有α=(α1,α2,…,αn)（其中αi為非負整數，，如l<∞；0≤|α|<∞，如l=∞）,有界且一致連續於IntΩ，得連續地開拓到嬠Ω,這樣的ƒ全體仍記為。空間的序列{}在中收斂於0當且僅當對所有α，0≤|α|≤l(0≤|α|<∞，如l=∞)，||在Ω內任何緊集上一致收斂於0，序列在中收斂於0。如果的支集(v=1,2,…)含於Ω內與v無關的緊集中而{}在中收斂於0。

函數空間

函數空間

對域Ω嶅，及C悂(Ω)也分別記為E(Ω)及D(Ω)。它們是廣義函數論中的基本函數空間（見廣義函數）。對1≤p<∞，表中使得對所有α，（m為勒貝格測度）的f全體，它是拓撲線性空間，零元的基本鄰域為也記為B(Ω)（Ω=時，Ω得從記法中略去）。中滿足急減條件

（對一切α，一切k>0）的函數f所成急減函數空間記為φ，φ中零元的基本鄰域是

函數空間

稱中f滿足緩增條件，如為︱x︱的一多項式P(依賴於α)所控制，即，凬α,│x│→∞；這樣的f所成的緩增函數空間記為，中序列收斂於零元指對每個α與每個φ∈φ,在上一致收斂於0。

函數空間

子域上索伯列夫空間

是巴拿赫空間，范數為

表此空間中函數f在索伯列夫意義上的廣義導數；

索伯列夫空間對研究偏微分方程問題解有重要意義且與其他函數空間概念有聯繫。

隨著不同函數空間的提出，常要了解對偶空間的組成和性質。從熟知的C([0,1])與有界線性泛函數的表達推廣得知：對緊空間Ω,C(Ω)的對偶空間同構於Ω中波萊爾集所成集合上定義的可列可加集函數φ所組成的集合BV(Ω)，它在以φ在Ω上的全變差為范數時為巴拿赫空間。對於

和

，

函數空間

函數空間

和分別互為對偶空間。M(Ω,μ)的對偶空間同構於一賦范空間，它的元φ是定義在Ω中所有可測集上的有限可加集函數，絕對連續（即對於Ω上測度μ，μ(N)=0崊φ(N)=0)且在Ω上具有界變差，φ在Ω上全變差為范數‖φ‖。,,с的對偶空間分別同構於M(Ω,μ)，m，。

D、φ、E的對偶空間分別為D′、φ′、E′。的元稱為施瓦茲廣義函數。因為，。D′的元稱為施瓦茲廣義函數。滿足條件（對任何整數k>0)的廣義函數T稱為急減廣義函數，其全體記為。從上面的規定及拓撲線性空間理論，有以下包含關係(1≤p

函數空間

函數空間

略去φ，φ′，，則上面包含關係對於以子域Ω時取代時仍成立。

結果

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兩線性空間A，B間包含關係，用記法A