球函數

在現代數學中，球函數及其推廣已被廣泛應用於拓撲群的酉表示。

連帶勒讓德方程

連帶勒讓德方程是數學物理中常見的常微分方程之一。其形式為：

作變換：

又可寫成：

此方程有三個奇點()，且均為正則奇點，故可化為超幾何方程。

在球坐標系下將拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程分離變數時，可出現連帶勒讓德方程。

稱定義在R 的開集U上的復值函數f是調和的，如果它在U上二次連續可微，且它經拉普拉斯運算元作用後為零：。

可以證明，U上的分佈T滿足，則T是解析且調和的函數。為使在U上局部可積的函數f是調和的，必須且只須對U的任一點a及對任一使以a為中心、α為半徑的閉球含於U中的正實數α，等於f在球B上的平均值。或等於f在以a為中心、α為半徑的球面上的平均值。由此容易推出：定義在連通開集U上、使 |f|在U的一點達到其極大值的調和函數是常值函數(極大值原理)。

C之開集U上的所有全純函數是調和的，它們的實部與虛部也是調和的。反之，如果U是C的單連通開集，則對任一實值調和函數f，存在U上的全純函數g，使。

極大值原理可推廣到稱為次調和函數的更一般的函數類；這是一些定義在U上、在中取值的上半連續函數，而對U的任一點a及對任一使以a為中心、α為半徑的閉球B含在U中的正實數α，小於f在B上的平均值。

R的開區間上的次調和實值函數正好是這一區間上的凸函數。

對C之開集U上的任一全純函數f，函數是次調和的。因而C之開集U上的次調和函數的研究能應用於全純函數的研究。將這種方法推廣於研究之開集U上的全純函數情況，導致引入一個函數類，稱為多元次調和函數類；這是一些定義在U上，在中取值的上半連續函數，且對C的任一直線D，f在上的限制是次調和函數。

分離變數法

求偏微分方程定解問題顯式解的基本方法。在解線性偏微分方程的混合問題或邊值問題時，先求滿足邊界條件的變數分離的特解，再利用疊加原理，做這些特解的線性組合，得到定解問題的解，這就是分離變數法。

區分線性與非線性的一條基本準則。令x為系統的輸入變數，y為系統的輸出變數，為輸出對輸入的響應函數。該系統滿足疊加原理，指以下兩個條件同時成立：

1.可加性。。

2.齊次性。 (k為任何常實數)。

凡同時滿足可加性和齊次性要求的是線性系統，至少一個要求不滿足的是非線性系統。