矩陣特徵值
數學術語之一
設 A 是n階方陣，如果存在數m和非零n維列向量 x，使得 Ax=mx 成立，則稱 m 是矩陣A的一個特徵值（characteristic value)或本徵值（eigenvalue)。非零n維列向量x稱為矩陣A的屬於（對應於）特徵值m的特徵向量或本徵向量，簡稱A的特徵向量或A的本徵向量。
設A是n階方陣，如果數λ和n維非零列向量x使關係式成立，那麼這樣的數λ稱為矩陣A特徵值，非零向量x稱為A的對應於特徵值λ的特徵向量。式也可寫成。這是n個未知數n個方程的齊次線性方程組，它有非零解的充分必要條件是係數行列式。
設A是數域P上的一個n階矩陣，λ是一個未知量，
矩陣特徵值
是一個n次代數方程，稱為A的特徵方程。特徵方程的根(如：)稱為A的特徵根(或特徵值)。n次代數方程在複數域內有且僅有n個根，而在實數域內不一定有根，因此特徵根的多少和有無，不僅與A有關，與數域P也有關。
以A的特徵值λ0代入，得方程組，是一個齊次方程組，稱為A的關於λ0的特徵方程組。因為，必存在非零解，稱為A的屬於λ0的特徵向量。所有λ0的特徵向量全體構成了λ0的特徵向量空間。
對於矩陣A，由得即齊次線性方程組
有非零解的充分必要條件是：
即說明特徵根是特徵多項式的根，由代數基本定理
求矩陣 的特徵值與特徵向量。
解：由特徵方程
解得A有2重特徵值，有單特徵值。
對於特徵值，解方程組
得同解方程組，解為(為自由未知量)。分別令自由未知量
得基礎解系
所以A的對應於特徵值的全部特徵向量為(不全為零)，可見，特徵值的特徵向量空間是二維的。注意，特徵值在重根時，特徵向量空間的維數是特徵根的重數。
對於特徵值，方程組
得同解方程組為
通解為令自由未知量得基礎解系，
所以的對於特徵值得全部特徵向量為。
性質1：n階方陣的所有特徵根為(包括重根)，則：
性質2：若λ是可逆陣A的一個特徵根，x為對應的特徵向量，則1/λ 是A的一個特徵根，x仍為對應的特徵向量。
性質3：若 λ是方陣A的一個特徵根，x為對應的特徵向量，則λ 的m次方是A的m次方的一個特徵根，x仍為對應的特徵向量。
性質4：設是方陣A的互不相同的特徵值。是屬於λi的特徵向量()，則線性無關，即不相同特徵值的特徵向量線性無關。
基本信息
- 中文名
- 矩陣特徵值
- 外文名
- matrix eigenvalues
- 相關概念
- 特徵向量
- 對象
- n階方陣
- 領域
- 線性代數
- 學科
- 數學