拉氏逆變換

定義：

，是一個關於t，的函數，使得當，時候，；s，是一個復變數；

mathcal 是一個運算符號，它代表對其對象進行拉普拉斯積分int_0^infty e^ ，dt；，是，的拉普拉斯變換結果。

則，的拉普拉斯變換由下列式子給出：

F（s），=mathcal left =int_ ^infty f（t），e^ ，dt

拉普拉斯逆變換，是已知F（s），，求解，的過程。用符號 mathcal ^表示。

拉普拉斯逆變換的公式是：

對於所有的，

f（t）= mathcal ^ left=frac int_ ^ F（s），e^ ，ds

c，是收斂區間的橫坐標值，是一個實常數且大於所有，的個別點的實部值。

為簡化計算而建立的實變數函數和復變數函數間的一種函數變換。對一個實變數函數作拉普拉斯變換，並在複數域中作各種運算，再將運算結果作拉普拉斯反變換來求得實數域中的相應結果，往往比直接在實數域中求出同樣的結果在計算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運算步驟對於求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數方程來處理，從而使計算簡化。在經典控制理論中，對控制系統的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎上的。引入拉普拉斯變換的一個主要優點，是可採用傳遞函數代替微分方程來描述系統的特性。這就為採用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統的整個特性（見信號流程圖、動態結構圖）、分析控制系統的運動過程（見奈奎斯特穩定判據、根軌跡法），以及綜合控制系統的校正裝置（見控制系統校正方法）提供了可能性。

用表示實變數t的一個函數，表示它的拉普拉斯變換，它是復變數s=σ+j&owega；的一個函數，其中σ和&owega；均為實變數，。和間的關係由下面定義的積分所確定：

如果對於實部的所有s值上述積分均存在，而對σ ≤σc時積分不存在，便稱 為的收斂係數。對給定的實變數函數 ，只有當σc為有限值時，其拉普拉斯變換才存在。習慣上，常稱為的象函數，記為；稱為的原函數，記為。

函數變換對和運算變換性質 利用定義積分，很容易建立起原函數 和象函數間的變換對，以及在實數域內的運算與在複數域內的運算間的對應關係。表1和表2分別列出了最常用的一些函數變換對和運算變換性質。