IIR數字濾波器

IIR濾波器有以下幾個特點：

1.1、封閉函數

IIR數字濾波器的系統函數可以寫成封閉函數的形式。

1.2、IIR數字濾波器採用遞歸型結構

IIR數字濾波器採用遞歸型結構，即結構上帶有反饋環路。IIR濾波器運算結構通常由延時、乘以係數和相加等基本運算組成，可以組合成直接型、正准型、級聯型、並聯型四種結構形式，都具有反饋迴路。由於運算中的舍入處理，使誤差不斷累積，有時會產生微弱的寄生振蕩。

1.3、藉助成熟的模擬濾波器的成果

IIR數字濾波器在設計上可以藉助成熟的模擬濾波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和橢圓濾波器等，有現成的設計數據或圖表可查，其設計工作量比較小，對計算工具的要求不高。在設計一個IIR數字濾波器時，我們根據指標先寫出模擬濾波器的公式，然後通過一定的變換，將模擬濾波器的公式轉換成數字濾波器的公式。

1.4、需加想為校準網路

IIR數字濾波器的相位特性不好控制，對相位要求較高時，需加相位校準網路。

2.1、單位響應

IIR濾波器的單位脈衝響應為無限長，網路中有反饋迴路。FIR（Finite Impulse Response）濾波器的單位脈衝響應是有限長的，一般網路中沒有反饋迴路。

FIR濾波器的系統函數一般是一個有理分式，分母多項式決定濾波器的反饋網路。FIR濾波器的系統函數用下式表示

2.2、幅頻特性

IIR數字濾波器幅頻特性精度很高，不是線性相位的，可以應用於對相位信息不敏感的音頻信號上；FIR數字濾波器的幅頻特性精度較之於IIR數字濾波器低，但是線性相位，就是不同頻率分量的信號經過fir濾波器后他們的時間差不變，這是很好的性質。

2.3、實時信號處理

FIR數字濾波器是有限的單位響應也有利於對數字信號的處理，便於編程，用於計算的時延也小，這對實時的信號處理很重要。

利用MATLAB信號處理工具箱中的濾波器設計和分析工具(FDATool)可以很方便地設計出符合應用要求的未經量化的IIR數字濾波器。需要將MATLAB設計出的IIR數字濾波器進一步分解和量化，從而獲得可用FPGA實現的濾波器係數。

3.1、IIR數字濾波器的設計步驟

由於採用了級聯結構，因此如何將濾波器的每一個極點和零點相組合，從而使得數字濾波器輸出所含的雜訊最小是個十分關鍵的問題。為了產生最優的量化后的IIR數字濾波器，採用如下步驟進行設計。

3.1.1、首先計算整體傳遞函數的零極點；

3.1.2、選取具有最大幅度的極點以及距離它最近的零點，使用它們組成一個二階基本節的傳遞函數；

3.1.3、對於剩下的極點和零點採用與3.2相類似的步驟，直至形成所有的二階基本節。

通過上面三步法進行的設計可以保證IIR數字濾波器中N位乘法器產生的量化舍入誤差最小。

3.2、獲得最優IIR數字濾波器係數

為了設計出可用FPGA實現的數字濾波器，需要對上一步分解獲得的二階基本節的濾波器係數進行量化，即用一個固定的字長加以表示。量化過程中由於存在不同程度的量化誤差，由此會導致濾波器的頻率響應出現偏差，嚴重時會使IIR濾波器的極點移到單位圓之外，系統因而失去穩定性。為了獲得最優的濾波器係數，採用以下步驟進行量化。

3.2.1、計算每個係數的絕對值；

3.2.2、查找出每個係數絕對值中的最大值；

3.2.3、計算比此絕對值大的最小整數；

3.2.4、對3.2.3的結果取反獲得負整數；

3.2.5、計算需要表示此整數的最小位數；

3.2.6、計算用於表示係數值分數部分的餘下位數。

除了係數存在量化誤差，數字濾波器運算過程中有限字長效應也會造成誤差，因此對濾波器中乘法器、加法器及寄存器的數據寬度要也進行合理的設計，以防止產生極限環現象和溢出振蕩。

與FIR數字濾波器的設計不同，IIR濾波器設計時的階數不是由設計者指定，而是根據設計者輸入的各個濾波器參數（截止頻率、通帶濾紋、阻帶衰減等），由軟體設計出滿足這些參數的最低濾波器階數。在MATLAB下設計不同類型IIR濾波器均有與之對應的函數用於階數的選擇。

3.3.1 脈衝響應不變法

步驟：

1）對已知的(s) 進行拉氏反變換，求得(t)；(t) (nt)

2）對(t) 進行取樣，得(nt)；

3）令h(n)=T(nt)，以求得h(n)；

4）對h(n) 進行Z 變換，得H（Z）。