非標準模型

簡單地說就是與自然模型（或稱標準模型、期望模型）不同構的模型。設L為一階語言(見模型論)，從原則上講，任何由L中的語句（即不含自由個體變元的公式）組成的集合均可稱為語言L上的一階理論（或稱初等理論）。但是這樣定義的理論往往沒有什麼意義，甚至可能是矛盾的。有意義的理論通常採用以下兩種方法來定義：先選定L的一個模型(亦稱L的一個實現。有時也可以反過來，先選定，再確定相應的語言L)。然後,①在L中選出有窮或無窮條在上為真的語句，組成集合T;在證明論或元數學的研究中，往往假定T是遞歸的。這樣的T 或其演繹閉包就是模型的一個理論。在證明論或元數學的研究中往往希望T的演繹閉包包含 L中一切在上為真的語句，亦即T是完備的。但這並不是經常都能辦到的。已知當 為實數域R時只要在相應的語言Lr中適當地選擇一個遞歸的理論Tr（如實閉有序域的公理系統）,則Tr就是R的一個完備理論。但當是自然數算術模型時，由哥德爾不完備性定理，在相應的語言Ln中就找不到完備的遞歸理論，它以為模型，在後一情形通常有熟知的皮亞諾公理系統PA，它由有限條刻畫數“0”和求後繼數運算 "，"的公理以及加法運算“+”和乘法運算 "·"的遞歸定義連同一條數學歸納公理模式組成。PA當然也是不完備的。②令T=Th()，這裡Th()表示由 L中一切在上為真的語句組成的集合。顯然，如此定義的T是完備的。

在上述兩種情況下，只要模型是無窮的，利用緊緻性定理，均可找到相應理論T的非標準模型，亦即與不同構的模型B，使得B也是T的模型。最先發現這一事實的是A.T.斯科朗。早在1934年斯科朗就構造了完備算術理論Th()的一個非標準模型。他採用的方法就是後來為J.羅斯於50年代重新發現的模型的超積的特殊情形即超冪的構作方法。

大致說來，在情形①，只要無窮，總可利用緊緻性定理造出理論T的非標準模型。在情形②,總可以利用超冪構作法求得理論Th()的一個非標準模型，而且後者是模型的初等擴充。

非標準模型雖然不是人們所期望的，但是它們有時卻有著非常重要的應用。開發理論的非標準模型以求得對自然模型（即人們所真正關心的模型）的性質的了解或對理論本身性質的了解的學問被J.L.貝爾和M.麥克弗稱作“非標準分析”。

① C.賴爾-納爾德澤夫斯基在1952年利用上述皮亞諾算術理論PA的非標準模型證明了PA不可有窮公理化，亦即PA中的數學歸納公理模式不能用有限條特例代替。

② A. 魯賓孫在1961年前後利用上述非標準分析方法開發完全理論Th(R)的非標準模型，為古典數學分析中的“無窮小量”和“無窮大量”方法提供了堅固和嚴格的基礎，甚至形成了一門新興的學科，稱為“非標準分析”，更確切地說應做“非標準數學分析”。

③近年來不少邏輯工作者用算術的非標準模型來給出數學命題的獨立性（即形式不可判定性）證明，其中最著名的是J.帕里斯和L.哈林頓。他們利用皮亞諾算術的非標準模型證明了，圖論中的一個命題也就是拉姆齊定理的一個加強形式在皮亞諾算術中是形式不可判定的，因而給出了哥德爾在1931年得到的著名的不完備性定理的一個語義證明(哥德爾本人給出的證明是語法的)。此外，與哥德爾給出的人為的不可判定命題相比，帕里斯和哈林頓所得的不可判定命題是有著深刻數學意義的命題。