非標準分析

美國數學家、邏輯學家A.魯賓孫於1960年所開創的一門新興的數學學科。魯賓孫利用現代數理邏輯的概念和方法證明了實數結構 R可以擴張為包含無窮小與無窮大數的結構*R,在一定意義下R與R具有相同的性質。更確切地說，他用模型論的方法給出了包括經典數學分析（又稱分析學,也稱標準分析）在內的R的完全理論的非標準模型R。它使G.W.萊布尼茨的無窮小問題得到圓滿的解決。狹義地說，利用R和R的互相轉換來研究數學分析的方法叫做非標準分析。一般地，凡是對某類數學對象用類似於上述的擴張來進行的研究都稱為非標準分析。現在這種方法（稱為非標準方法）已成功地應用於數學的各個分支。

稱R中的元素為超實數，除包含普通實數外，還包含無窮小（絕對值小於任何正實數的數）、無窮大（絕對值大於任何正實數的數）和有限超實數（絕對值小於某一正實數的數）。對超實數和對實數一樣，可以施行加、減、乘、除等運算，而且適合實數的各種運演演算法則（如加法和乘法的結合律與交換律等）；還可以按大小順序排列在一條幾何直線上。形象地加以描述，可如圖所示。

把表示超實數系的直線稱為超實數軸。超實數軸上，表示有限超實數的範圍稱為主星系。此外還有無限多個星系，它們中的每個點都對應一個無窮大數，而且每個星系中的任何兩個數都相差一個有限數。普通實數軸上的每個點，對應超實數軸上主星繫上的一個單子。每個單子內的任何兩個超實數之差是一個無窮小，而且這些無窮小具有無限多個不同的階(層次)。就有限數範圍而言，每個單子內恰包含一個普通實數，稱為標準數。不是普通實數的超實數稱為非標準數。如果兩個超實數α與β相差是一個無窮小，就稱α無限接近於β，記為α埍β。顯然，這是一個等價關係。因此，每個有限超實數α無限接近於一個標準數α（即α埍α）。也就是說α＝α+ε，其中ε為一無窮小。α稱為 α的標準部分，記為0α或stα。只有0既是標準數，又是無窮小。顯然，任何有限個無窮小之和總是小於 1，就是說超實數域不滿足阿基米德性質(即對於任意的正數α與b，總存在著一個自然數n，使得nα≥b)。

非標準分析在嚴格的數學基礎上恢復了萊布尼茨的作為“更合於發明家的藝術”的無窮小方法。這個方法無論在刻畫概念、證明定理、思考問題等方面都顯示出優越性。下面的舉例中用到的函數ƒ(x)是 R中的函數ƒ(x)在R中的自然擴張, 區間【α,b】是R中的區間【α,b】在R中的自然擴張。

續：函數ƒ(x)在標準點x0上連續，當且僅當x埍x0時，。

一致連續：函數ƒ(x)在〈α,b〉(各種區間)上一致連續，當且僅當，若有

導數：設函數ƒ(x)在標準點x0附近有定義，而且如果對於x0的單子內的所有x≠x0,超實數有相同的標準部分，就稱ƒ(x)在x0處是可導的，而稱標準實數為ƒ(x)在點x0處的導數，記為

積分：設函數ƒ(x)在區間【α,b】上是連續的，它在【α，b】上的定積分是

式中 ω是一任意無窮大自然數，分點0≤i<ω。

可以證明，以上這些概念的非標準定義與相應的標準定義是完全等價的。下面用無窮小方法論證一個熟悉的定理：在有限區間【α,b】上的連續函數ƒ(x)是一致連續的。設x┡與x″是【α，b】上任意的兩個超實數，且x┡埍x″。由於【α，b】是有限閉區間，所以必存在一個標準點x0∈【α,b】使得x┡埍x0，又因為埍是一等價關係，因此，x″埍x┡埍x0。由ƒ(x)的連續性知所以

由此可以看出，用無窮小方法，可使許多概念的刻畫顯得直觀、簡明，可使定理的論證縮短。

在非標準分析中有重要的轉換原理：每一個關於R可形式化的命題對R成立者，經適當解釋對R也成立，反之亦然。這裡,“適當解釋”是指在命題中出現的對象(如集合、關係、函數等)在R中都被解釋為相應的內對象。有了這條轉換原理，就可以藉助於標準分析以了解非標準結構並運用非標準分析來解決標準分析的問題。除了轉換原理外，在非標準分析中還有兩條重要的原理，即理想化原理和標準化原理。

在17世紀微積分學的初創時期，人們就注意到這門學科的基礎問題。I.牛頓和萊布尼茨都曾使用過無窮小，尤其是萊布尼茨及其跟隨者，在一階和高階無窮小的基礎上，發展了微積分理論；他們完全允許引進無窮小和無窮大，而且把它們看做是類似於虛數的理想元素，這些理想元素服從於普通實數的定律。他們所用的記號，在歐洲大陸上被廣泛採用。這些記號的優越性，促進了當時微積分理論在歐洲大陸上迅速發展。因此，魯賓孫把萊布尼茨視為非標準分析的真正先驅者。但是這個理論卻存在著顯著的內在矛盾──有時把無窮小看作非零而作除數，有時又把它看作是零而捨去。局限於當時的條件，這個矛盾一時還不能徹底解決，難免受到非難和攻擊。

英國的主觀唯心主義哲學家B.貝克萊(1685～1753)主教在1734年著文攻擊無窮小為“消失了的量的幽靈”。直到19世紀,A.-L.柯西、B.波爾查諾和K.（T.W.）外爾斯特拉斯用極限理論為數學分析建立了邏輯上嚴謹的基礎，從而促進了數學分析的大發展。此後，無窮小和無窮大在分析學中就再也沒有地位，只剩下了諸如“某變數趨於無窮大”這一類的說法而已。極限理論雖然使得數學分析獲得了邏輯的嚴謹性，但是卻失去了無窮小方法的簡明性和直觀性。正因為無窮小方法便於縮短論證,“更合於發明家的藝術”,所以直到今天，許多物理學家、經濟學家和工程師仍習慣於運用無窮小方法。然而，數學家們卻認為在數學分析中作為數的無窮小是不存在的。

直到20世紀60年代，魯賓孫運用數理邏輯嚴謹地論證了無窮小的存在性，圓滿地解決了萊布尼茨的“無窮小的矛盾”的問題，開創了非標準分析。接著W.盧森堡用超冪方法構造了非標準模型，以後又構造了多飽和模型。此後，非標準分析發展很快，現在已成功地應用到許多方面，如點集、拓撲學、測度論、函數空間、概率論、微分方程、代數數論、流體力學、量子力學、理論物理和數理經濟等。非標準分析為具有眾多的小額貿易的商業市場提供了一個很好的模型。還有，它對模擬一個在邊界為無窮大的容器中的壓力下進行氣體的熱力學過程是很有成效的。非標準分析對某些學科中出現的一些困難問題已經作出有益的貢獻。例如，用非標準分析方法首先解決了幾十年未解決的希爾伯特空間上的多項式緊運算元的不變子空間的存在問題；又如，中國數學家用非標準分析方法給出了解決廣義函數的乘法問題的一個富有成效的方法；再如，法國數學家對常微分方程的奇異攝動已做出了大量很有意義的成果。還須指出，除非標準分析外，使得無窮小與無窮大能在分析學中使用的還有種種嘗試。在這方面最有成效的有D.勞格維茨的無窮小數和中國學者提出的廣義數的研究。

A.魯賓遜著，申又棖、王世強、張錦文等譯:《非標準分析》,科學出版社,1980。(A.Robinson,Nonstandard Analysis,Rev.ed.,North-Holland,Amsterdam, 1974.)

K.D.Stroyan and W.A.J.Luxemburg,Introduction to the Theory of InfinitesiMals, Academic Press, New York,1976.