王世強

王世強於1927年3月30日生於河北省石家莊市，祖籍河北省深縣相家莊（現劃歸衡水市）。父親王經春是中國銀行職員，母親耿月秋是家庭婦女。他自幼在家中受到父母的啟蒙教育，學習識字、算術及閱讀兒童讀物。7歲時在河北省定縣住過半年多，在那裡受到教育家晏陽初“平民教育”試驗的影響，學習過“中華平民教育促進會”編寫的一些宣揚民族精神的教材。他上學較晚，9歲時入初小4年級插班，那時對他印象較深的主要是抗日救亡的愛國教育以及初步的科學教育。

他剛剛讀完小學5年級；跟隨父母逃難，在淪陷后的天津市法租界讀完小學，然後於1939年輾轉遷徙到抗日戰爭後方的甘肅省。他於1942年在甘肅武威中學初中畢業后，去酒泉河西中學高中部肄業兩年，於1944年以同等學歷考入蘭州西北師範學院數學系。

他於1946年轉入北京師範大學（當時名北平師範學院）數學系，1948年畢業留校。

1949年9月 任北京師範大學數學系講師。1956年9月任副教授，1979 年任教授，1981年被評為博士研究生導師。

北京解放后，他繼續留校工作至今。他於1949年升任講師，1956年升任副教授，1977年4月 應邀為紐約科學院成員。

1979年升任教授，1981年被評為博士生導師。他多年來對本科生及研究生講授過代數及數理邏輯方面多種課程，並作了不少科研工作。他至今已培養了碩士18人，博士11人。1979年至今 兼任《中國科學》、《科學通報》編委。

他於1985年3月加入中國共產黨，曾在校內3次被評為優秀黨員。

據他回憶，在他的成長過程中，曾受到很多位師長及學友的教益。其中特別是（按時間先後）受到李恩波、段學復、傅種孫、張禾瑞諸位老師的教育和影響。關於這方面的情況，他在一篇自述性文章中有較詳細的記述。認為這是在我國數學發展中一個容易被忽略的重要側面。

他在數學學習及科研中的主要興趣是在代數和數理邏輯方面，特別是數理邏輯對數學的應用方面。他對數理邏輯方法在數學研究中的作用有一種很強的信念，這在上述他的文章中也有較詳細的論述。

在學術交流活動方面，他除了曾多次參加國內的專業會議外，在“文化大革命”前就參加過一些接待外國專家的活動（如A.I.馬爾采夫（Malcev），L.考爾馬（Kalmár）等）。自從我國實行改革開放政策以來，他又多次參加國內外的國際性專業會議以及出國訪問和邀請外賓來訪等。1977年，他又應邀加入紐約科學院，願意進一步為發展國際學術交流及推進跨分支、跨學科的研究事業而努力。

總述

自20世紀50年代以來，王世強在格論、泛代數、邏輯演算、格值模型論及模型論的代數應用等方面已發表論文40餘篇，在美國的《數學評論》（《Mathematical Reviews》，以下簡稱MR）中有評介的30餘條。

格論及泛代數方面

在他1955年以前的4篇論文中，解決了G.伯克霍夫（Birkhoff）《Lattice Theory》（1948年第2版）中的問題31，64，103及一個猜想；部分解決了問題32，72。在1964年發表的論文中，他部分解決了該書“代數前言”中一個待解問題。具體結果如：

問題31的解答：有限擬群上任意兩個同餘關係都是可交換的。對於每個無限基數α，都有基數為α並且具有不交換同餘關係的擬群和圈存在。

問題103的解答：可以將實數偶構成的有序加群造成幾種類型的有序環。

問題72的部分解答：在可補格L上所有同餘關係構成一個布爾代數的充分必要條件是：L的每個中立理想格都是主理想格。

以上結果段學復等人曾作過介紹，並被G.伯克霍夫（Birkhoff），楊宗磐，L.富克斯（Fuchs），G.格萊策（Grtzer）等在專著中引用。

邏輯演算方面

他改進了希爾伯特-戈特林德（Hilbert-Gtlind）的命題演算公理體系。這一結果有文章介紹過，在《數學評論》中也受到王浩的好評。他在兩篇文章中給出了關於延時電路演算的兩個簡潔公理體系，對邏輯電路的理論研究有一定意義。這兩篇文章發表於“大躍進”期間，流傳不廣（因限於其中的符號非專業人士不熟悉，不在此詳述）。

格值模型論方面

他與吳望名等合作對格值邏輯進行研究，這是對前人多值邏輯研究的推廣。後來又發展為模型論性質的研究，是對前人布爾值模型理論的推廣。他在1980至1982年發表了3篇文章是關於格值模型論的一批基礎性概念、方法及定理。這些工作，後來被沈復興等多人繼續作了較系統的發展。

他曾在國內外學術會議上介紹這方面的工作，並談到其理論意義及在計算機科學方面的實際意義。可參看他的綜述文章及在IEEE會議文集中論文。此外，他還有一批未出版的講稿。（因限於符號及圖表，不在此詳述。）

模型論的代數應用之一

他在3篇文章中，用模型論及數論方法證明了：對每個二次代數整數環及某些三次代數整數環，都存在適合哥德巴赫（Goldbach）性質的擴環，也存在不適合哥德巴赫性質的擴環。從而表明了哥德巴赫猜想對這些環的理論在一種弱意義下的獨立性。對於孿生素數猜想，也得到了類似的結果。他對上述各種擴環的其他數論性質作了一些探討。

構作這些擴環的基本思路是：考慮上述任一數環I的某些剩餘類環，由於它們是有限環，所以易於判斷哥德巴赫性質對之是否成立。如果能找到I的無限多個適合此性質的剩餘類環，則可構作它們的一個適當的超積J，使J成為Ⅰ的擴環。又由於哥德巴赫性質是1階邏輯語言中的命題，所以由模型論中的超積基本定理可知J也適合哥德巴赫性質。對於哥德巴赫性質的反面以及孿生素數命題及其否定命題，也都可沿著類似思路構作出I的相應擴環。但對於孿生素數偶的有限性或無限性，由於不是1階性質，所以需要對相應的超積作適當論證。（另外，在有了適用的無限多個剩餘類環之後，也可不用超積而用模型論中的緊緻性定理來證明這些擴環的存在性。）

王世強在3、4方面的工作，曾與羅里波、沈復興、盧景波的工作一起，獲得國家教委1986年度科學技術進步獎一等獎，項目名稱為《模型論與判定問題》。

模型論的代數應用之二

他在前人工作基礎上，結合模型論方法，給出了代數閉域上希爾伯特零點定理的一些推廣形式。例如一種形式是：

定理 設C為複數域，P為由C上可數無限多個不相關不定元x1，x2，x3，…生成的多項式環。對於P的任一非空子集П，下列諸性質互相等價：（i）П中全體多項式在C中有公共零點。（）П中全體多項式在C的一個擴域中有公共零點。（）對П中任何有限多個多項式p1，…，pk及P中任何g1，…，gk都有g1p1+…+gkpk≠1。（iv）П中任何有限多個多項式都在C中有公共零點。（V）П在P中生成的理想J≠P。（Ⅵ）I（V（П））≠P。（Ⅶ）設П在P中生成的理想為J，則Rad（J）≠P。（Ⅷ）П能擴張為P的理想為J1並使V（J1）只含1個點。

他將前人關於任意域上無限線性方程組可解性的定理在不可數域時推廣到可以包括高次不等式組的情況，這樣可便於討論線性代數中例如方陣的非異性等問題。

作為這些結果的應用，他在一些文章中討論了有關域上無限方陣的問題。例如證明了下列的兩個平方和定理。

定理 設F為一有限域或為一不可數代數閉域，則F上每一無限方陣M都能表示為兩個特殊形狀無限方陣的平方和：M=A2+B2，其中A=（aij）及B=（bij）適合aii=0，ai，i+1=1，ai，i+j+1=0，bi+1，i=1，bi+j+1，i=0（i，j=1，2，3，…）。

模型論的代數應用之三

他利用模型論方法，並對域上某些無限維向量引入“無限線性相關”的概念，給出了任意域上行列有限方陣M（即：每行及每列都只含有限個非零元的無限方陣，以下簡稱rcf方陣）存在各種逆方陣的充分必要條件。例如：

定理 任一域F上rcf方陣M具有rcf雙側逆方陣的充分必要條件是：M的諸行及諸列都是無限線性無關的。（以下稱此種M為rcf可逆的。）

在此基礎上，他解決了任意域上rcf方陣M在等價變換下的對角化問題，給出了M可對角化的充分必要條件及可對角化rcf 方陣的完全分類。大意如下：

設F為任一域，M，N為F上的rcf方陣，如果存在F上rcf可逆的rcf方陣P、Q能使PMQ=N，則稱M與N等價（易知這是一等價關係）。

例如，對任何自然數m、n，令Dmn=（dij）為如下的對角方陣：

dm+i，n+i=1，其他dij=0，i，j=1，2，3，…，

則F上rcf方陣與Dmn等價的充分必要條件是：“在M的行向量中，有一個極大線性無關組Sr，它含有無限多行而在Sr之外有m行，並且Sr是無限線性無關的；同時，M的列向量也適合類似的條件（把m換為n）”。

這項分類的成果相當突出地顯示了rcf方陣與有限矩陣在性質上的很大差異。

F上的rcf方陣並不都是可對角化的，例如，易證下列方陣N=（nij），其中

nii=n>ii+1=1，其他nij=0，i，j=1，2，3，…就是不可對角化的。

對國外一些重要獨立性結果的介紹

王世強有一個很強的信念，就是：數理邏輯方法在某些數學問題的研究中具有重要作用。他認為，由於數理邏輯是用數學方法對數學中的邏輯思維以及模型、集合、演演算法、證明等基本概念進行深入研究的學科，所以它必然會在數學研究的某些場合起到不同於常規數學思維及方法的特殊作用，並且這種作用在不少情況下是不可能被代替的。為了宣傳國外在這方面的一類重要成果，他曾邀請楊守廉共同撰寫了《獨立於ZFC的數學問題》一書，在其中介紹了數學中一批已被證明的獨立性結果，例如可換群論中的懷特海（Whitehead）問題，巴拿赫（Banach）代數方面的卡普蘭斯基（Kaplansky）問題等。當我們對反映樸素集合論的ZFC公理體系增補了不同的新公理之後，這些問題可以有完全不同的答案，因而它們是不可能只用樸素集合論來解決的。這正像當年非歐幾何出現時的情況一樣。

此書在美國“數學評論”中受到好評，被認為是在集合論應用方面“最有趣的中文著作之一”。此書並在1995年獲得國家教委優秀學術著作獎。

王世強生於舊社會，經歷過抗日戰爭和解放戰爭時期，對於帝國主義的侵略和舊社會的黑暗深有感受。解放后通過學習馬列主義、毛澤東思想和親身體會，更認識了“沒有共產黨就沒有新中國”、“只有社會主義才能救中國”的道理。1958年入黨后，通過進一步學習鄧小平建設中國特色社會主義理論，更堅定了走社會主義道路的信念和共產主義理想。

在道德風範方面，他經常注意嚴格要求自己，以嚴肅態度對待人生、對待工作和科學事業，防止庸俗化的傾向。他並且體會到這幾方面是有內在聯繫的。例如，他很欣賞控制論創始人N.維納（Wiener）的下列一段話：“學者的紀律是獻身於追求真理。這包括願意作出這種獻身所要求的實際犧牲……然而，這個紀律基本上是內在的，屬於人和科學本身的關係，而不是人對於科學在其中展開的那個外部環境的反應。”

1 王世強。命題演算的一系公理。數學學報，1952，2（4）：267-274

2 王世強。關於合同關係的可換性。數學學報，1953，3（2）：133-141

3 王世強。實向量所成的有序環。數學學報，1955，5（1）：65-80

4 王世強。有限級有序加群及有序環的表現。數學學報，1955，5（4）：425-432

5 王世強。一種邏輯電路演算的初步構作。北京師範大學學報，1959，（4）：1-8

6 王世強。一種邏輯電路演算的構作。北京師範大學學報，1960，（1）：7-15

7 王世強。關於代數系統的自同構群的一個註記。數學進展，1964，7（2）：213-218

8 王世強，吳望名。可補格按恆Ⅰ式集分類的問題（Ⅰ）.北京師範大學學報，1964，（2）：125-133

9 王世強，翁稼豐。一些多值狹義謂詞演算中的標準形。北京師範大學學報，1980，（2）：19-23

10 王世強。格值模型論中緊緻性定理的一種證法。北京師範大學學報，1980，（3-4）：25-30

11 王世強，盧景波。格值模型的超積基本定理。科學通報，1981，26 （2）：71-74

12 王世強。格值模型論中的省略型定理。數學學報，1982，25（2）：202-207

13 王世強。一類具有Goldbach性質的可換環。北京師範大學學報，1982，（1）：17-22

14 王世強，武濤。二次數環的不具有Goldbach性質的擴環。北京師範大學學報，1982，（3）：21-25

15 王世強。一些三次數環的具有及不具有Goldbach性質的擴環。中國科學，1984，（1）：16-23

16 王世強。一種Goldbach可換環的數論性質。中國科學，1984，（3）：210-216

17 王世強，沈復興，岳其靜。一些Goldbach及非Goldbach可換環的數論性質。北京師範大學學報，1984

18 王世強。模型論基礎。北京：科學出版社，1987

19 Wang Shiqing. Some studies on lattice-valued model theory. Advances in Science of China (Mathematics), 1988, 2: 73—78

20 Wang Shiqing. A survey of some results in lattice-valued model theory.Proceedings of the 18th International Symposium on Multiple-Valued Logic, 1988, 129—133

21 Wang Shiqing. Inductive rings and fields. Annals of Pure and Applied Logic, 1989, 44: 133—137

22 王世強.Hilbert零點定理的推廣。科學通報，1989，（20）：1523-1525

23 王世強。無限維復仿射空間的Hilbert零點定理。北京師範大學學報，1990，（2）：1-5

24 王世強。格值模型論概述（一）.南京大學學報增刊，1990，40-46

25 王世強。不可數域的一個緊緻性定理。北京師範大學學報，1992，（2）：136-140

26 王世強，楊守廉。獨立於ZFC的數學問題。北京：北京師範大學出版社，1992

27 王世強。關於域上無限方陣的逆方陣。北京師範大學學報，1993，（3）：327-330

28 Wang Shiqing.On the diagonalization of row-column-finite matrices.北京師範大學學報，1997，33（3）：321-327