皮亞諾

皮亞諾的父母巴爾托洛梅奧和 羅斯亞有4男1女，皮亞諾是第二個孩子。他們家以耕作為生，雖處在文盲充斥的農村，但皮亞諾的父母有見識且很開朗，讓子女都接受教育。他家住在離省城庫內奧3英里的地方，每天皮亞諾和其兄米切勒必須步行去省城念書。為了方便孩子們上學，他父母把家搬到城內，直到他最小的妹妹小學畢業，才又搬回農場。他的舅舅M. 卡瓦羅是一位牧師和律師，住在都靈。由於皮亞諾勤學好問，成績優異，舅舅接他去都靈讀書。開始時他接受私人教育（包括舅舅的教育）和自學，使他能於1873年通過卡沃烏爾（Cavour）學校的初中升學考試而入了學。1876年高中畢業，因成績優異獲得獎學金，進入都靈大學讀書。他先讀工程學，在修完兩年物理與數學之後，決定專攻純數學。在校5年，他學習的科目十分廣泛。1880年7月他以高分拿到大學畢業證書，並留校當奧維迪奧的助教，一年後又轉為分析學家A。傑諾其教授的助教。1882年春傑諾其摔壞了膝蓋骨，皮亞諾便接替他講授分析課。1884年任都靈大學微積分學講師。1890年12月經過正規競爭，皮亞諾成為都靈大學的臨時性教授，1895年成為正教授，他一直在都靈大學教書，直到去世。

1887年皮亞諾與卡羅拉·克羅西亞結婚，她是一位畫家的女兒。他們沒有孩子。

皮亞諾是許多科學協會的會員，也是義大利皇家學會會員。他在分析方面的研究頗有成績，是符號邏輯的奠基人，又是國際語的創立者。皮亞諾於1932年4月20日夜裡因心絞痛逝世。按照他的意願，葬禮非常簡樸，他被葬在都靈公墓。1963年，他的遺骸被遷往老家斯皮內塔的家族墓地。

貢獻

1903年皮亞諾跨出數學領域致力於發明一種國際語（至少可以在講西歐語言的人中使用），他採取的語言形式可以說是一種混和語，它把拉丁語的詞幹（而不變格變位）加到德語或英語的字當中去，只要看起來可行。結果就是“國際語”，它對於講拉丁語系語言的人沒有什麼困難，對於講條頓語系語言的人即使它們不完全熟悉拉丁語系的語言太困難。有的科學雜誌現在採取一項措施，即發表文章的摘要用國際語，以便通過最少的翻譯使儘可能多的人都能看到。

他作為符號邏輯的先驅和公理化方法的推行人而著名。1891年皮亞諾創建了《數學雜誌》，並在這個雜誌上用數理邏輯符號寫下了這組自然數公理，且證明了它們的獨立性。皮亞諾的《數學公式彙編》共有5卷，1895－1908年出版，僅第五卷就含有4200條公式和定理，有許多還給出了證明，書中有豐富的歷史與文獻信息，有人稱它為“無窮的數學礦藏”。皮亞諾引入並推廣了“測度”的概念。皮亞諾認為自己最重要的工作在分析方面。1883年他給出了定積分的一個新定義，將黎曼和當其最小上界等於最大下界時所取的公共值。這是設法使積分定義擺脫極限概念所做的努力。1886年他率先證出一階微分方程 y'= f（ x， y）可解的唯一條件是f的連續性，並給出了稍欠嚴格的證明。1893年，皮亞諾發表了《無窮小分析教程》，被德國的數學百科全書列在“自歐拉和柯西時代以來最重要的19本微積分教科書”之中。皮亞諾撰寫的《數學百科全書》有很多引人注目的地方。

皮亞諾作為符號邏輯的先驅和公理化方法的推行人而著名。他的工作是獨立於戴德金（J. W. R. Dedekind）而做出的。雖然戴德金也曾發表過一篇自然數方面的文章，觀點與皮亞諾的基本相同，但表達得不如皮亞諾明晰，沒有引人們注意。皮亞諾以簡明的符號及公理體系為數理邏輯和數學基礎的研究開創了新局面。他在邏輯方面的第一篇文章出現在他1888年出版的《幾何演算—基於格拉斯曼的“擴張研究”》( Calcolo geometrico secondo l’Ausdehnungslehre di H. Grassmann)一書中。該文獨立成章共20頁，是關於“演繹邏輯的運算”（ Operations of deductivelogic）的。皮亞諾不同意羅素（B. A. W. Russell）的觀點，而是布爾（G. Boole）、施勒德（F. W. K. E. Schroder）、皮爾斯（C. S. Peirce）和H. 麥科爾（Mccoll）等人工作的綜合和發展。1889年皮亞諾的名著《算術原理新方法》（ Arithmetices principia, nova methodo exposita）出版，在這本小冊子中他完成了對整數的公理化處理，在邏輯符號上有許多創新，從而使推理更加簡潔。書中他給出了舉世聞名的自然數公理，成為經典之作。1891年皮亞諾創建了《數學雜誌》（ Rivista di Matematica），並在這個雜誌上用數理邏輯符號寫下了這組自然數公理，且證明了它們的獨立性。皮亞諾用兩個不定義的概念“0”和“後繼者”及五個公理來定義自然數

自然數集 N是指滿足以下條件的集合：① N中有一個元素，記作0。② N中每一個元素都能在 N 中找到一個元素作為它的後繼者。③ 0不是任何元素的後繼者。④ 不同元素有不同的後繼者。⑤（歸納公理） N的任一子集 M，如果0∈ M，並且只要 x在 M中就能推出 x的後繼者也在 M中，那麼 M= N。

19世紀90年代他繼續研究邏輯，並向第一屆國際數學家大會投了稿。1900年在巴黎的哲學大會上，皮亞諾和他的合作者布拉利-福爾蒂（C. Burali-Forti）、帕多阿（A. Padoa）及皮耶里（M. Pieri）主持了討論。羅素後來寫道：“這次大會是我學術生涯的轉折點，因為在這次大會上我遇到了皮亞諾。”皮亞諾對20世紀中期的邏輯發展起了很大作用，對數學做出了卓越的貢獻。

皮亞諾在《數學雜誌》上公布他和他的追隨者的邏輯與數學基礎方面的結果。他還在上面公布了他的《數學公式》（ Formulario）的龐大計劃，並且在這項工作上花費了26年的時間。他期望能將他的數理邏輯記號的若干基本公理出發建立整個數學體系。他使數學家的觀點發生了深刻變化，對布爾巴基學派產生了很大影響。

皮亞諾的《數學公式彙編》（ Formulario mathematico）共有5卷，1895—1908年出版，僅第5卷就含有4200條公式和定理，有許多還給出了證明，書中有豐富的歷史與文獻信息，有人稱它為“無盡的數學礦藏。”他不是把邏輯作為研究的目標，他只關注邏輯在數學中的發展，稱自己的系統為數學的邏輯。

皮亞諾在其他領域中也使用了公理化方法，特別是對幾何。從1889年開始，他對初等幾何採用公理化的處理方法，給出了幾套公理系統。1894年他將這種方法加以延伸，在帕施（M. Pasch）工作的基礎上將幾何中不可定義的項消減為三個（點、線段和運動），後來皮耶里（M. Pieri）在1899年又把幾何中不可定義的項消減為二個（點和運動）。

他的許多論文都是對已有的定義和定理給出更加清晰和嚴格的描述及應用，例如1882年施瓦茲（H. A. Schwarz）引入了曲面的表面積這個概念，但沒有說清楚，一年後皮亞諾獨立地將曲面表面積的概念清晰化。

皮亞諾引入並推廣了“測度”的概念。1888年開始他將格拉斯曼（H. G. Grassmann）的向量方法推廣應用於幾何，他的表述比格拉斯曼清晰得多，對義大利的向量分析研究作了很大的推動。

1890年，皮亞諾發現一種奇怪的曲線，只要恰當選擇函數和由定義的一條連續的參數曲線，當參數 t在[0，1]區間取值時，曲線將遍歷單位正方形中所有的點，得到一條充滿空間的曲線。稍後希爾伯特（D. Hilbert）和皮亞諾還找到另外一些這樣的曲線。

皮亞諾認為自己最重要的工作在分析方面。的確，他在分析方面的工作是非常新穎的，有不少是開創性的。1883年他給出了定積分的一個新定義，將黎曼積分定義為黎曼和當其最小上界等於最大下界時所取的公共值。這是設法使積分定義擺脫極限概念所作的努力。1886年他率先證出一階微分方程可解的唯一條件是f的連續性，並給出稍欠嚴格的證明。

1890年他又用另一種證法把這一結果推廣到一般的微分方程組，並給出選擇公理的直接明晰的描述。這比策梅羅(E. F. F. Zermelo)早14年。但皮亞諾拒絕使用選擇公理，因為它超出數學證明所用的普通邏輯之外。1887年他發現了解線性微分方程的逐次逼近法，但人們把功勞歸於比他晚一年給出此法的皮卡（E. Picard）. 皮亞諾還給出了積分方程的誤差項，並發展成“漸近運算元”的理論，它是解決數學方程的一個新方法。1901—1906年之間他就保險數學投過稿。作為國家委員會的一員，他曾被請為估計退休金的金額。1895-1896年他寫過理論力學方面的文章，其中有幾篇是關於地球自轉軸的運動。他的工作還涉及特殊的行列式、泰勒公式及求積分公式的推廣等等。1893年，皮亞諾發表了《無窮小分析教程》（ Lezioni di analisi infinitesimale），書中的清晰而嚴格的表述令人嘆服。它與皮亞諾編輯的傑諾其的著作《微分學與積分學原理》（ Calcolo differenziale e Principii di calcolointegrale）被德國的數學百科全書列在“自 歐拉（L. Euler）和柯西（A. L. Cauchy）時代以來最重要的19本微積分教科書”之中。

1900年皮亞諾對國際輔助語發生了興趣，因為他的語言能力很強，他曾用英語、義大利語、德語和波蘭語寫各種書評。1903年他在《數學雜誌》上發表了對國際語的見解。他想構造一種對學者特別是科學家通用的國際語言。他認為已經存在著大量源於拉丁語的科學辭彙，試圖將選擇每個詞的合式形式。他把拉丁語的詞幹加到德語或英語的字中，使學者們能很快識別出來。他認為最好的語法是無語法，主張取消複雜的詞尾變化。1908年皮亞諾當選為國際語協會的主席，直到去世。他領導這個協會自由討論，於1919年出版了《拉丁語義大利語-法語-英語-德語公共辭彙》( Vocabulario Commune ad Latino-italiano-francais-english-deutsch), 其中含有14000個詞條，皮亞諾把自己後期的精力絕大部分用在這項工作上。他被譽為國際語的創立者。

皮亞諾的教學工作也很出色，因此曾被軍事學院和理工學院聘去兼課。他對教育有濃厚的興趣，並做出一些貢獻。他堅決反對向學生施加過重的壓力，1912年他針對小學曾發表過“反對考試”的短文，他說：“用考試來折磨可憐的學生，要他們掌握一般受過教育的成人都不知道的東西，真是對人性的犯罪……。同樣的原則也適應於中學和大學。”他很關心教學內容的嚴謹性，他認為定義一定要準確清晰，證明必須正確無誤，可以省去那些困難的內容。他在中學數學教師中間組織了一系列的討論，試圖促進數學教育向清晰、精確和簡單化方向發展。

皮亞諾還注意研究數學史，他曾給出關於數學術語出處的精闢論述。在數學教學中，他常介紹數學史知識，挖掘萊布尼茨（G. W. Leibniz）、牛頓（I. Newton）等人的數學思想，對同時代的人影響很大。

皮亞諾還和他的《數學公式》的合作者們一起，創辦了一所學校。他的學識和對學生的寬容，使他吸引了一批在數學和哲學上興趣相投的人，形成他的學派，該學派對數理邏輯與向量分析在義大利的發展起過重大作用。