量子場論

量子場論的建立基於經典場論，狹義相對論和量子力學。經典場的物理性質可以用一些定義在全空間的量描述〔例如電磁場的性質可以用電場強度和磁場強度或用一個三維矢量勢A(x,t)和一個標量勢\phi(x,t)描述〕。這些場量是空間坐標和時間的函數,它們隨時間的變化描述場的運動。空間不同點的場量可以看作是互相獨立的動力學變數，因此場是具有連續無窮維自由度的系統。場論是關於場的性質、相互作用和運動規律的理論。量子場論則是在量子力學基礎上建立和發展的場論，即把量子力學原理應用於場，把場看作無窮維自由度的力學系統實現其量子化而建立的理論。量子場論是粒子物理學的基礎理論，但也被廣泛地應用於核理論和凝聚態理論等近代物理學的其他許多分支。

量子場論中，粒子就是場的量子激發，每一種粒子都有自己相應的場。在量子化過程中，玻色場滿足對易關係，而費米場滿足反對易關係。粒子之間的相互作用和動力學可以用量子場論來描述。

目前已知的四種相互作用中，除去引力，另三種相互作用都找到了合適滿足特定規範對稱性的量子場論（或者說Yang-Mills場）來描述。強相互作用有量子色動力學（QCD，Q保羅·狄拉克uantum Chromodynamics)；電磁相互作用有量子電動力學（QED,Quantum Electrodynamics)，理論框架建立於1920到1950年間，主要的貢獻者為保羅·狄拉克，弗拉迪米爾·福克，沃爾夫岡·泡利，朝永振一郎，施溫格，理查德·費曼和迪森等；弱相互作用有四費米子點作用理論。在弱相互作用中，李政道和楊振寧發現宇稱不守恆。

後來弱相互作用和電磁相互作用實現了形式上的統一，由Yang-Mills（楊-米爾斯）場來描述，通過希格斯機制（Higgs Mechanism）產生質量，建立了弱電統一的量子規範理論，即GWS（Glashow, Weinberg, Salam）模型。之後，量子場論也成為現代理論物理學的主流方法和工具。量子場論和標準（亦即非相對論性）的量子力學的差別在於，任何特殊種類的粒子的數目不必是常數。每一種粒子都有其反粒子（有時，諸如光子，反粒子和原先粒子是一樣的）。一個有質量的粒子和它的反粒子可以湮滅成能量，並且這樣的正反粒子對可由能量產生出來。的確，甚至粒子數也不必是確定的；因為不同粒子數的態的線性疊加是允許的。目前最精確的量子場論是“量子電動力學”--關於帶電粒子和光子的理論。該理論的預言具有令人印象深刻的精確性。然而，，這個理論在建立之初，無窮大的發散積分會出現在量子圈圖修正中，必須用稱為“重正化”的步驟才能把這些發散消除。並不是所有量子場論都可以用重正化來補救的。即使是可行的話，其計算也是非常困難的。“路徑積分[1]”是量子力學的一個重要的方法。它不僅把不同粒子態（通常的波函數）而且把物理行為的整個空間--時間歷史的量子線性疊加而形成的（參閱費曼1985年的通俗介紹）。但是，量子場論中路徑積分自身也有附加的無窮大，人們只有引進不同的“數學技巧”才能賦予意義。

基於自旋和標度規範對稱性以及物理規律坐標無關的假設，2016年吳岳良提出了引力規範場的量子場論。引進雙標架時空概念，即整體平坦坐標時空和局域平坦引力場時空。基本引力場不再是坐標時空的度規場，而是定義在雙標架時空上的規範型雙協變矢量場。自旋和標度規範對稱性支配引力相互作用，將量子場論發展為引力量子場論。

經典場論

（例如J.C.麥克斯韋的電磁場論）中場量滿足對空間坐標和時間的偏微分方程，因此經典場是以連續性為其特徵的。按照量子物理學的原理，微觀客體都具有粒子和波、離散和連續的二象性。在初等量子力學中對電子的描述是量子性的，通過引進相應於電子坐標和動量的算符和它們的對易關係實現了單個電子運動的量子化，但是它對電磁場的描述仍然是經典的。這樣的理論沒有反映電磁場的粒子性，不能容納光子，更不能描述光子的產生和湮沒。因此，初等量子力學雖然很好地說明了原子和分子的結構，卻不能直接處理原子中光的自發輻射和吸收這類十分重要的現象。

電磁場

1926年Born，Heisenberg和Jordan提出將電磁場作為一個具有無窮維自由度的系統進行量子化的方案，1927年Dirac做出更令人信服的論證。電磁場可以按本徵振動模式作傅里葉分解，每種模式具有一定的波矢k,頻率ωk和偏振方式s=1,2、ωk=|K|с。因此自由電磁場(不存在與其相互作用的電荷和電流)可以看作無窮多個沒有相互作用的諧振子的系統，每個諧振子對應於一個本徵振動模式。根據量子力學,這個系統具有離散的能級nk,s=0,1,2,…,是非負整數。對基態,所有的 nk,s=0，激發態表現為光子,nk,s是具有波矢k極化s的光子數,啚ωk是每個光子的能量。還可以證明K是光子的動量，極化s對應於光子自旋的取向。

按照普遍的波粒二象性觀點，應當可以在同樣的基礎上描述電子。這要求把原先用來描述單個電子的運動的波函數看作電子場並實現其量子化。與光子不同的是電子服從泡利不相容原理。1928年E.P.約旦和E.P.維格納提出了符合於這個要求的量子化方案。對於非相對論性多電子系統，他們的方案完全等價於通常的量子力學，在量子力學文獻中被稱為二次量子化。（後來，狄拉克找到描述相對性電子場的方程，）場ψα，α=1,2,3,4,量子化自由電子場的激發態相應於一些具有不同動量和自旋的電子和正電子，每個狀態最多只能有一個電子和一個正電子。下一步是考慮電磁場與電子場的相互作用並把理論推廣到其他的粒子，例如核子和介子。描述電子場和電磁場相互作用的量子場論稱為量子電動力學，它是電磁作用的微觀理論。

1929年W.K.海森伯和W.泡利建立了量子場論的普遍形式。按照量子場論，相應於每種微觀粒子存在著一種場。設所研究的場的系統可以用N個互相獨立的場量qi(X,t)(i=1,2,…,N)描述，這裡X是點的空間坐標,t是時間。各點的場量可以看作是力學系統的無窮多個廣義坐標。在力學中可以定義與這些廣義坐標對應的正則動量,記作πi(X,t)。根據量子力學原理,引入與這些量對應的算符ϕi(X,t)和Πi(X,t)。對於整數自旋的粒子,可以按照量子力學寫出這些算符的正則對易關係。對半整數自旋的粒子則按照約旦和維格納的量子化方案，用場的反對易關係。在給定由ϕi(X,t)和Πi(X,t)組成的哈密頓算符后,可以按量子力學寫出場量滿足的海森伯運動方程式，它們是經典場方程的量子對應。量子力學還給出計算各種物理量的期待值以及各種反應過程的幾率的規則。像通常力學中的量子場論導論情形一樣，也可以等價地選取其他的廣義坐標，例如取場量qi(X,t) 的傅里葉分量作為廣義坐標。在用到自由電磁場時，就得到前面已經敘述的結果。量子場論的這種表述形式稱為正則量子化形式。量子場論還有一些基本上與正則量子化形式等價的表述形式，其中最常用的是費曼於1948年建立的路徑積分形式。在進行場的量子化時，必須使理論保持一定的對稱性。在涉及高速現象的粒子物理學中，滿足相對論不變性是對理論的一個基本要求。除此以外，還必須保證所得的結果符合量子統計的要求，即符合正確的自旋統計關係。在量子場論中這些要求都達到了。在量子場論的框架內給出了自旋統計關係的一般證明。

量子場論給出的物理圖像是：在全空間充滿著各種不同的場，它們互相滲透並且相互作用著；場的激發態表現為粒子的出現，不同激發態表現為粒子的數目和狀態不同，場的相互作用可以引起場激發態的改變，表現為粒子的各種反應過程，在考慮相互作用后，各種粒子的數目一般不守恆，因此量子場論可以描述原子中光的自發輻射和吸收，以及粒子物理學中各種粒子的產生和湮沒的過程，這也是量子場論區別於初等量子力學的一個重要特點。所有的場處於基態時表現為真空。從上述量子場論的物理含義可以知道真空並非沒有物質。處於基態的場具有量子力學所特有的零點振動和量子漲落。在改變外界條件時，可以在實驗中觀察到真空的物理效應。例如在真空中放入金屬板時，由於真空零點能的改變而引起的兩個不帶電的金屬板的作用力（卡西米爾效應）以及由於在外電場作用下真空中正負電子分佈的改變導致的真空極化現象。量子場論本質上是無窮維自由度系統的量子力學。在量子統計物理和凝聚態物理等物理學分支中，研究的對象是無窮維自由度的系統。在這些分支中，人們感興趣的自由度往往不是對應於基本粒子的運動而是系統中的集體運動，例如晶體或量子液體中的波動。這種波動可以看作波場，而且它們也服從量子力學的規律，因此量子場論同樣可以應用於這些問題。

在考慮相互作用后,還不能求得量子場論方程的精確解，必須採用近似計算方法。較早發展起來的量子場論的計算方法是在量子電動力學中首先採用的微擾的方法。在量子電動力學中，考慮到電子場和電磁場相互作用的耦合常數(即電子的電荷) e是一個小量，把哈密頓量中代表相互作用的項作為對自由場哈密頓量的微擾來處理。這樣各種反應過程的振幅可表成耦合常數 e的冪級數，微擾論方法是逐階計算冪級數的係數。考慮到耦合常數很小，只要計算冪級數的前面幾個低次項，就可以得到足夠精確的近似結果。在一般的量子場論問題中，如果耦合常數足夠小，也可以類似地用微擾論的方法處理。1946～1949年朝永振一郎、J.S.施溫格和費曼等人發展一套新的微擾論計算方法，這種微擾論方法具有形式簡單、便於計算並且明顯保持相對論協變性的優點。特別是,費曼引入了圖形表示法和相應的物理圖像,提供了寫出微擾論任意階項的系統的方法──而且這種方法有很強的直觀性。

處理量子場論問題的微擾論方法有它的局限性，它要求耦合常數很小，即屬於弱耦合的情況。耦合強到一定程度后微擾論展開式的頭幾項就不再是好的近似。因此在量子場論發展過程中已經針對不同問題的需要發展了許多種非微擾方法，如色散關係理論、公理化場論、流代數理論、半經典近似方法、重正化群方法、格點規範理論等。這些方法的出發點各不相同，基本上可以歸為兩類。一類是直接根據場論的基本原理和普遍的對稱性要求，給出一般的限制和預言。這類理論的典型例子是色散關係理論和公理化場論。這種做法雖然比較嚴格，但正因為是普遍的討論，就不可能對許多具體問題作出細緻的回答，所得的結果有很大的局限性。

另一類是找尋另一種近似方案，用另一個小參量代替耦合常數來作某種近似處理。因為作近似時不再以耦合常數的冪次為依據，所以有時對強耦合也能應用。例如,格點規範理論的強耦合展開式就帶有這樣的特點。這樣的理論雖然可以解除微擾論所受的限制，但卻受這種理論本身所取近似條件的限制。還沒有非常有力的非微擾方法。在格點規範理論的研究中發展了用有限的點陣上的量代替無限的連續的時空中的場，利用電子計算機作蒙特—卡羅模擬的方法。雖然這不再是無窮維自由度的系統，如果所取點陣的尺度與所研究的現象有關的主要過程作用的範圍相當，它不失為一種量子場論的近似方法。

發散困難和重正化

概述

在用量子電動力學計算任何物理過程時，儘管用微擾論最低階近似計算的結果和實驗是近似符合的，但進一步計算高階修正時卻都得到無窮大的結果。同樣的問題也存在於其他的相對論性量子場論中，這就是量子場論中著名的發散困難。

根源

在於：在相對論性量子場論中，微觀粒子實際上被看作一個點。即使在經典場論中，如果把電子看作一個點，由電子產生的電磁場對本身的作用而引起的電磁質量也是無窮大的。在量子場論中發散有更多的形式，它們都起源於粒子產生的場對本身的自作用。發散困難的存在表示量子場論不能應用到很小的距離或者很大的動量。有不少修改量子場論基本假設的嘗試，但都不成功。除這種嘗試外，有的嘗試甚至認為微觀粒子（電子和夸克）可能並不是最基本的，比如弦理論認為基本粒子在更小尺度或者更高能量下表現為弦，這樣就必須會改變點粒子場論在小距離處的結果。另一方面，現有的量子場論並沒有成功地將引力納入進來進行統一的描述，引力將改變時空本身的結構，如引力量子場論，標度規範不變性表明基本理論應存在一個基本能量標度。

在現有量子場論的框架內，發散困難用重正化的方法得到部分的解決。現有的量子場論可以分為兩類。在第一類場論中所有的發散因子都可以歸結為少數幾個物理參量的發散。如果重新調整這幾個參量,使它們取實驗要求的數值,對其他的物理量仍可用現有的理論計算，如果按重正化的耦合常數作微擾展開就可以得到有限的結果。這類理論稱為可重正化的。量子電動力學屬於這一類。在量子電動力學中，帶電粒子的質量，場和電荷需要重正化。重正化計算的合理性在於：如果理論需要作的修改只限於充分小的距離範圍之內，這些不發散的物理量受到的影響是很小的。另一類理論中有無窮多個物理參量發散，這類理論稱為不可重正化的。至少還沒有辦法用不可重正化的理論作包括粒子自作用的計算。1949年左右，施溫格和費曼等人首先用新式的微擾論作量子電動力學中的重正化計算。重正化的普遍理論及其嚴格證明經過H.H.博戈留博夫、O.C.帕拉修克、K.赫普和W.齊默爾曼等人的研究在60年代中才完成。量子電動力學的重正化微擾論計算在很高的精度上與電子自旋磁矩和μ子的反常磁矩（見μ子和電子回磁比）及原子能級的蘭姆移位的實驗符合，迄今量子電動力學通過了所有實驗的考驗，這些實驗表明量子電動力學在大於10-16cm處是正確的。量子電動力學的成功是重正化量子場論的實驗證實。

在量子場論微擾圈圖計算其量子修正過程中遇到的無窮大發散，通常是由於微擾積分沒有很好地定義，解決的辦法是利用正規化方法首先對發散積分進行合適的處理，以便使發散積分有很好的定義。幾種常用的正規化方案包括動量截斷正規化，Pauli-Villar正規化，維數正規化和圈正規化。維數正規化是由t ’Hooft和Veltman為處理Yang-Mills場中的發散而發展起來的。圈正規化方案是由吳岳良於2003年提出和發展的，它不改變原有理論，能夠保持理論自身的對稱性，包括動量平移不變性，規範對稱性和超對稱等，同時保持原有發散積分的冪次。

數學聯繫

雖然量子場論沒有嚴格的數學基礎，但是物理學家（主要是弦論學家）應用量子場論的方法與技巧可以得到很多數學家難以想象的結果。上世紀八十年代初，物理學家使用超對稱量子力學的方法給出了指標定理的物理證明。隨後八十末，Edward Witten應用Dirac代數中的技巧重新證明了丘成桐用繁雜的技巧證的廣義相對論中的正質量猜想，同樣也是Witten發展了拓撲量子場論，拓撲弦論，並應用三維Chern-Simons 理論和共形場論的結果得到了扭結理論中的Jones多項式。拓撲弦論後來發現與極端黑洞的熵有關。1998年Gopakuma,Vafa發現了拓撲弦與Chern-Simon理論的大N對偶。在2003年N. Nekrassov應用拓撲場的方法得到N=2 的超對稱理論的配分函數。最近幾年，Vafa及其合作者建立了拓撲弦的統計力學模型，並發現這一模型可以得到一系列的Wall-Crossing 公式。

在物理學各分支中的應用：

量子場論作為微觀現象的物理學基本理論廣泛應用於近代物理學各個分支。粒子物理學的發展不斷提出場論研究的新課題，並取得了進展，它包括複合粒子場論、對稱性自發破缺的場論、Yang-Mills規範場論和真空理論的新發展等幾個互相聯繫著的方面。在研究這些問題時廣泛應用了量子場論的路徑積分和泛函的表達形式。自60年代後期以來，Yang-Mills規範場的研究成為場論研究的一個中心，已經解決了這類理論所特有的量子化和重正化方面的問題，闡明了規範場的一些特殊性質。1961年至1968年S.L.格拉肖、S.溫伯格和A.薩拉姆建立的描述統一的弱作用和電磁作用的自發破缺規範理論，在1978年至1983年已經基本上得到實驗的證實。量子色動力學作為描述強相互作用的規範理論也取得了很大的成功。

數學家用的量子場論

在量子電動力學取得成功以後,量子場論在粒子物理學中取得的這些新成就使人們相信：雖然存在著發散困難這樣的基本問題和在強耦合下缺少有效的近似方法的困難，量子場論仍然是解決粒子物理學問題的理論基礎和有力工具。除規範場論中的一些問題例如所謂囚禁問題仍然是人們注意的中心外，一些新的課題如量子引力理論、超對稱量子場論等正吸引著人們去進行研究。在統計物理、凝聚態理論和核理論中廣泛地採用量子場論的格林函數和費曼微擾論方法，它們已經成為這些物理學分支的基本理論工具。費曼微擾論方法使得人們可以在微擾論展開式中分出一部分對所研究的現象起主要作用的項來作部分求和，大大提高了人們解決各種問題的能力。

量子場論方法對溫度不為零的統計物理學以及超導和量子液體等現象的理論發展起了非常重要的推動作用。統計物理學中有些現象本質上不一定是量子效應,但由於是無窮維自由度的問題,它們與量子場論問題在數學形式和物理內容上都有十分相似之處。量子場論方法對這些問題也有重要的應用。例如，重正化群方法的思想和工具對解決統計物理學中長久未能解決的臨界現象問題起了關鍵性的作用。正因為量子場論已成為近代物理學各分支的共同基礎理論，量子場論的任何一個重要進展都會對不只是一個分支的發展有重要的推動作用。