固有頻率

物體做自由振動時，其位移隨時間按正弦規律變化，又稱為簡諧振動。簡諧振動的振幅及初相位與振動的初始條件有關，振動的周期或頻率與初始條件無關，而與系統的固有特性有關，稱為固有頻率或者固有周期。物體的頻率與它的硬度、質量、外形尺寸有關，當其發生形變時，彈力使其恢復。彈力主要與尺寸和硬度有關，質量影響其加速度。同樣外形時，硬度高的頻率高，質量大的頻率低。一個系統的質量分佈，內部的彈性以及其他的力學性質決定。

隨著我國電力事業的高速發展，電力系統規模逐漸擴大，快速而準確地實現超高壓線路故障選相對電力系統安全穩定運行有重大意義，傳統釆用工頻量的故障選相方法有序分量法和突變數法。突變數選相演演算法能夠快速動作，但其適用範圍有限，易受保護裝置安裝位置和故障類別影響，其可靠性與穩定性較低；序分量選相法能在一定程度上彌補突變數選相法的不足，但是該方法需要故障后全周波的數據，不能滿足超高速故障選相的要求。國內外學者在對暫態行波研究的基礎之上，提出了基於暫態行波的故障選相保護方法提出的基於小波變換的行波故障選相方法，採用小波分析法辨識故障電流模極大值進行故障選相：、通過設置形態濾波單元處理故障電流，僅用一層小波分析即能識別行波模極大值，提高了選相速度。暫態行波用於超高壓故障選相具有速度優勢，但行波極性和幅值的判別易受外界T·擾而失效，導致誤選相。行波固有頻率成分是一種穩定存在於故障行波中的高頻暫態分量，其頻率值與故障位置的關係在國內外已有廣泛研究。

行波固有頻率是故障行波在故障點與系統端來回反射而形成的一種諧波形式的特徵頻率成分。固有頻率中幅值能量最大而頻率值最小的成分稱之為主固有頻率成分，主固有頻率成分明顯存在於故障行波中，且容易辨識。根據故障行波主固有頻率特徵構成的輸電線路保護演演算法已在電力系統保護中的高壓直流輸電、混合線路故障測距、輸電網故障定位等領域得到了廣泛的研究。系統端等效阻抗為理想值，在不考慮行波波速頻變特性時，故障行波固有頻率值與故障位置之間存在著線性關係。而當系統端存在等效阻抗時，上述關係式則不再適用，固有頻率值受系統阻抗直接影響。從頻域的角度分析固有頻率發生的機制，列寫系統頻域方程並建立了固有頻率、故障距離以及系統阻抗之間的關係式，求解方程得到故障距離與固有頻率關係的解析式。

在電力系統低頻振蕩主導模式檢測中，第一次提出了原子能量熵的概念：低頻振蕩包含多種振蕩模式，不同模式的振蕩強弱不同，其中主導振蕩模式的信號最強，其對應的原子能量熵也最大。原子分解法可以將待測信號表示為一系列原子，每一個原子對應信號中的一種頻率成分，原子能量熵則是各個原子與原始信號的內積值，內積值越大，表明其所佔能量越大，在整個信號中起主導作用。信號表現出的主要特徵，往往與信號中具有最大原子能量熵的原子相似。多相故障時，各故障相中的行波固有頻率含量較高，非故障相則幾乎不含固有頻率成分。本文方法利用原子分解能量熵分析各相電流中固有頻率特徵並選相，方法如下：採用原子分解法分析濾波處理后的各相電流，根據分解得到的原子及其能量熵值，找到各相電流中能量熵值最大的原子一主導成分，如果存在兩相或三相電流中的主導成分的原子能量熵值均大於0.8且頻率值相等，則認為該主導成分為固有頻率成分，含有固有頻率成分的各相均為故障相，否則，則認為故障行波出現混雜，故障類型為單相接地故障，進而根據解耦后的廣模電流尋找故障相。

現代電動汽車驅動電機追求高功率密度低振動雜訊和寬廣的速度運行範圍，準確預測電機結構的各階固有頻率在給定的速度運行範圍內避免共振，是抑制電動汽車驅動電機電磁振動雜訊的關鍵。國內外很多學者都對電機定子模態進行了分析。電機定子模態分析始於 20 世紀 30 年代，國內對此問題的分析起於 80 年代。早期的電機模態分析主要是機電類比法，由於電機結構複雜多樣，解析法模型難以準確描述具有複雜邊界條件的定子結構。隨著有限元軟體的發展，目前最有效的電機模態的分析方法是結合有限元計算方法和實驗方法，用實驗結果修正有限元模型。應用解析分析方法快速計算得出定子鐵心的固有頻率。應用有限元方法分析了疊片鐵心、繞組和端蓋對開關磁阻電機固有頻率的影響。應用有限元方法分析了端蓋和底腳對大型非同步電機固有頻率的影響。運用有限長厚壁圓筒模型對電機定子振動頻率進行分析，歸納出定子振動低階模態特性。應用有限元方法分析了感應電機不同結構的固有頻率，計算了感應電機繞組的楊氏模量，並用實驗進行了驗證。

利用瑞利-利茲法分析了一台軸長為 510mm，外徑 317mm 的汽車驅動用感應電機的定子結構的固有頻率，建立了有限元模型並估算得出了電機結構材料參數。文獻利用圓環和殼體理論分析了兩台外徑分別為42mm和18mm的集中繞組的電機定子結構固有頻率，驗證了殼體理論在分析電機不同結構固有頻率時的精確性。本文對一台 48 槽 8 極車用內置式永磁同步電機定子鐵心的固有振動特性進行分析研究，考慮繞組結構和繞組浸漆對定子固有頻率的影響，把定子鐵心和繞組端部等效成兩自由度振動系統，採用解析法分析鐵心嵌入繞組、繞組端部對定子鐵心固有頻率的影響。並利用有限元軟體建立較精確的定子鐵心結構的計算模型，考慮繞組彈性模量和浸漆的影響，計算繞組和浸漆結構對定子固有頻率的影響。最後用錘擊法模態實驗驗證理論分析的正確性和有限元模型的精確性。

隨著橋樑工程的快速發展，如何保證橋樑安全穩定的運行得到了越來越多的關注。其中，如何避免因車輛超載等導致橋樑結構變形垮塌是一個非常重要的課題。超載問題可近似簡化為樑上承受豎向集中荷載的問題，且由於超載車輛一般行駛緩慢，可進一步簡化為集中靜荷載問題。超載除了導致橋樑的結構破壞之外，對於橋樑的固有特性也會產生一定影響，尤其是橋樑的固有特性和固有模態。而梁的固有頻率和固有模態對於橋樑的結構損傷檢測和分析有著重要的意義。根據梁的固有頻率和固有模態可判斷梁的損傷和破壞狀況，據此採取修繕和加固措施。目前對於考慮初始狀態梁的固有頻率和固有模態的研究較少。因此，本文將研究考慮集中靜荷載作用的梁固有特性問題，為更好地將考慮靜載效應的固有特性應用於橋樑的振動特性設計和結構損傷分析提供基礎。

傳統理論中，對於梁單元固有特性的理論研究主要考慮兩個因素：梁結構的剛度、梁系統的質量。而實際中，初始靜荷載、溫度等均會對梁的固有特性產生影響。目前，國內外對梁的振動分析主要基於伯努利一歐拉梁理論和鐵摩辛柯梁理論。歐拉梁理論假定梁單位的彎曲變形為主要變形，不考慮剪切變形影響，適用於高跨比非常小的梁。鐵摩辛柯梁理論則是在此基礎上考慮了剪切變形，適用於高跨比較大的梁。

一般實際橋樑的高跨比非常小，可忽略橫向剪切變形的影響，採用伯努利一歐拉梁理論來分析其振動變形。而固支梁在橋樑工程中有著廣泛的應用。因此，本文以歐拉梁理論為基礎，根據漢密爾頓原理，研究固支樑上跨中存在集中靜荷載作用時，產生的初始撓度和初始應力對固有頻率和振型曲線變化的影響，得到二者關係的理論解。同時，針對某一符合工程規範要求的梁，分析樑上跨中存在集中荷載時，其固有頻率和振型曲線的化，並進行1:1模型試驗，驗證所得理論解的正確性。

1)以歐拉梁理論為基礎，運用能量守恆方程和變分原理，可得到存在初始撓度時，梁的振動控制方程，從而分析得到固有頻率的理論解和梁的各階固有振型。由此可得，針對不同邊界條件的梁，初始撓度的存在會使其固有頻率發生一定改變。

2)對兩端固支的梁，集中靜荷載產生的初始撓度，會使梁的固有頻率和振型發生變化。固有頻率的變化受樑上靜荷載大小、梁的高跨比的影響。

3)當梁的其他參數不變時，隨著樑上靜荷載的增大，梁的初始撓度增大，幾何構型的改變導致梁的剛度變大，因此梁的各階固有頻率值也隨之增大，與之對應的梁的各階振型曲線也發生偏移。其他參數不變，梁的高跨比變小時，梁更容易產生較大撓度，導致梁的剛度隨之變大，最終初始靜荷載對梁固有頻率的影響變大。因此，在實際的橋樑設計運營中，應充分考慮集中荷載導致的橋樑固有頻率和固有模態的變化。