聚點原理

定理有界無窮點集至少有一個聚點(極限點) 。

此定理叫做 聚點原理。

證明：將包含在中心位於原點，各邊平行於坐標軸的正方形內，若沒有聚點，則對於中每一點z，存在這樣一個 使得在這個鄰域內只含 的有限個點，且這些鄰域的全體將復蓋住，由 有限復蓋定理，在這些鄰域中只要有限個鄰域就將 復蓋住(當然是有界閉集)。這樣一來，點集也只有有限個點屬於，這與為無窮點集而又完全包含在k內相矛盾。從而定理成立。

聚點的定義

任給存在無窮多個滿足

則稱為複數序列的一個聚點。

有的序列可以有多個聚點。例如，實數序列

就有兩個聚點1和-1.當序列的極限存在時，序列的極限是此序列的唯一聚點。

在擴充複平面上每一個無窮點集至少有一個聚點(有限點或無窮遠點) 。

根據假設，對於E來說，只有兩種可能，或者存在某一個圓域：它含有E的無窮多個點，因而含有E的聚點(由聚點原理得知) ，或者在每一個圓域內只有E的有限個點，此時在無窮遠點的任意鄰域： 內有E的無窮多個點，因此，點是E的聚點，從而推論得證。

規定在一個數列中如有某數重複出現無窮多次，則該數也看作數列的聚點，例如數列 中0 是一個聚點，由於1在數列中出現無窮多次，故1也是聚點。按照這個規定，顯然任何有界無窮數列必至少有一個聚點。

先介紹閉集的概念。

如果點集E包含它的所有聚點在內，則稱E為 閉集。

海恩-波萊爾定理（Heine-Borel）假設E為有界閉集，且對E內每一點z都作一個以這一點為圓心的圓域(這個圓的半徑沒有限制，它可以取任意正實數)，則在這些圓中必可以找到有限多個來把有界閉集E復蓋住，換句話說，E的每一點至少屬於這有限個圓域中的一個圓域的內部。此定理又叫做 有限復蓋定理，它是複變函數論里的重要定理。

下面應用數學分析中的矩形套定理來證明有限復蓋定理。

證明: 如果E是有限集，定理顯然成立。

設E是無限集，則我們用反證法來證明，設為一個各邊平行於坐標軸，以坐標原點為中心的正方形，並且將E包含在內，若定理不成立，則將分成四個全等的正方形時，在這四個正方形上的E的四個子集中至少有一個不能用上述有限個圓心屬於E的圓域所復蓋，我們把這個子集所在的正方形記為Q，並且再把它用同樣方式分成四個全等的正方形，同樣，我們又得到一個正方形，繼續這種分法，我們得到，它包含E的一部分，而且對這一部分來說，我們的定理是不成立的，也就是說，E的這一部分必須用無窮多個圓才能復蓋住，但因這些正方形組成了一個閉正方形套(特殊的矩形域套) ：

並且它們的對角線的長分別為

因此，。

根據閉矩形套定理，存在唯一一點屬於所有這些正方形，於是當n充分大時，在 的任一個鄰域必須包含正方形Q，因而也就包含著E的點，並且是無窮多個點，不然的話，E的這個子集能夠被有限個圓所復蓋住，但這是不可能的。所以為E的聚點，因為E為閉集，所以屬於E，設圓的半徑為，選這樣大的一個n，使得正方形的對角線的長小於 ，於是我們得到所有屬於的E的點都被圓所復蓋住，但是根據我們最初的假設，必須有無窮個圓才能把它們復蓋住，這是個矛盾，從而定理得證。

有限復蓋定理的逆定理也成立。