閉集

閉集包含其自身的邊界。換句話說，這個概念基於“外部”的概念，如果你在一個閉集的外部，你稍微“抖動”一下仍在這個集合的外部。注意，這個概念在邊界為空的時候還是真的，比如在有理數的度量空間中，對於平方小於 2 的數的集合。

任意多個閉集的交集是閉集；有限多個閉集的並集是閉集。特別的，空集和全空間是閉集。

交集的性質也被用來定義空間 X 上的集合 A 的閉包，即 X 的閉合子集中最小的 A 的父集。特別的，A 的閉包可以通過所有的其閉合父集的交集來構造。

單位區間 [0,1] 在實數上是閉集。

集[0,1]∩Q在有理數上是閉集，但在實數上並不是閉集。

有些集合既不是開集也不是閉集，如實數上的半開區間 [0,1)。

集合中的“閉集”

我們把“如果a∈A，b∈A，那麼a±b∈A，且ab∈A且a/b（b≠0）∈A”的集合A稱為閉集。

通過序列對閉集的定義：拓撲空間 X 上的子集 A 是閉合的，當且僅當 A 的元素組成的任意序列的任意極限仍然屬於 A。這一表述的價值在於，它可以用在收斂空間的定義中，而收斂空間比拓撲空間更普通。注意，這一表述仍然依賴背景空間 X，因為序列是否在 X 中收斂依賴於 X 中的點。

集合是否是閉合的通常取決於它所在的空間。然而在某種意義上，緊緻的豪斯多夫空間是“絕對閉合的”。精確地說，將緊緻的豪斯多夫空間 K 放在任意豪斯多夫空間 X 中，K 總是 X 的一個閉合子集；這和“背景空間”沒有關係。實際上，這個性質刻畫了緊緻的豪斯多夫空間。

一般度量拓撲下實數軸都是閉集，因為它上面的點列的極限點還在它上面，而這裡閉集的定義是極限點都在自己身體裡面的集合稱為閉集，因此實數軸就是閉集。

根據定義，每一個拓撲，首先需要確定研究的集合（全集）是什麼，然後確定哪些子集合是開集，保證全集和空集是開集，開集的有限交和和任意並是開集。最後定義開集的補集也就是全集減去一個開集得到集合叫閉集。

下面來看三個例子：

實數軸既開又閉：如果我們只研究實直線，全集就是實數軸，它就一定又開又閉。

實數軸是閉集，但不是開集：如果研究的全集是二維平面，開集選擇咱們通常意義上的開集，那x軸作為實數軸，就是閉集而不是開集，因為它是上下兩個開集半平面的並的補集，不是閉集的補集。

實數軸是開集，但不是閉集：（硬想出來的）考慮全集是平面上xy=0的集合，也就是x軸和y軸並起來。定義初始開集為四個帶0半軸，因為這四個半軸兩兩相交交集都是原點，因此原點作為單點集也是開集，這五個開集（稱為最終拓撲的一個基）的任意並集就是這個拓撲的全部開集了。它們的補集就是全部閉集。因為y軸正半軸和負半軸是閉集，其並集是閉集，而且怎麼也不是開集，它的補集，x軸就是開集而不是閉集。