矩陣的秩
線性代數中的概念
矩陣的秩是線性代數中的一個概念。在線性代數中，一個矩陣A的列秩是A的線性獨立的縱列的極大數，通常表示為r(A)，rk(A)或rank A。
在線性代數中，一個矩陣A的列秩是A的線性獨立的縱列的極大數目。類似地，行秩是A的線性無關的橫行的極大數目。即如果把矩陣看成一個個行向量或者列向量，秩就是這些行向量或者列向量的秩，也就是極大無關組中所含向量的個數。
方陣(行數、列數相等的矩陣)的列秩和行秩總是相等的，因此它們可以簡單地稱作矩陣A的秩。通常表示為或。
矩陣的秩最大為m和n中的較小者，表示為。有儘可能大的秩的矩陣被稱為有滿秩；類似的，否則矩陣是秩不足（或稱為“欠秩”）的。
設A是一組向量，定義A的極大無關組中向量的個數為A的秩。
定義1. 在矩陣A中，任意決定k行和k列交叉點上的元素構成A的一個k階子矩陣，此子矩陣的行列式，稱為A的一個k階子式。
例如，在階梯形矩陣中，選定1，3行和3，4列，它們交叉點上的元素所組成的2階子矩陣的行列式 就是矩陣A的一個2階子式。
定義2. 的不為零的子式的最大階數稱為矩陣A的秩，記作rA，或rankA或R(A)。
特別規定零矩陣的秩為零。
顯然 易得：
若A中至少有一個r階子式不等於零，且在時，A中所有的階子式全為零，則A的秩為r。
由行列式的性質知，矩陣A的轉置A的秩與A的秩是一樣的，即。
矩陣的秩
定理：矩陣的行秩，列秩，秩都相等。
定理：初等變換不改變矩陣的秩。
定理：矩陣的乘積的秩
引理：設矩陣A=(aij)sxn的列秩等於A的列數n，則A的列秩，秩都等於n。
當時，最高階非零子式的階數，任何階子式均為零，而伴隨陣中的各元素就是n-1階子式再加上個正負號，所以伴隨陣為0矩陣。
當時，最高階非零子式的階數，所以階子式有可能不為零，所以伴隨陣有可能非零（等號成立時伴隨陣必為非零）。
(1)轉置后秩不變
(2)A是型矩陣
(3),k不等於0
(4)
(5)
(6)
(7)
證明：
AB與n階單位矩陣En構造分塊矩陣
|AB O|
|O En|
A分乘下面兩塊矩陣加到上面兩塊矩陣，有
|AB A|
|0 En|
右邊兩塊矩陣分乘-B加到左邊兩塊矩陣，有
|0 A |
|-B En|
所以,
即
註：這裡的n指的是A的列數。這裡假定A是矩陣。
特別的：
(8)P,Q為可逆矩陣, 則
基本信息
- 中文名
- 矩陣的秩
- 外文名
- The Rank of Matrix
- 拼音
- juzhendezhi
- 符號
- rArankA或R(A）
- 類型
- 數學術語
- 計算公式
- A=(aij)m×n
- 領域
- 線性代數
- 性質
- 行秩是A的線性無關極大數目