集值映射
集值映射
集值映射亦稱多值映射，映射概念的推廣。設X和Y是兩個集合，記2Y=A|A⊂Y，稱之為Y的冪集，從X到Y的一個集值映射指的是從X到2Y的一個單值映射F：X→2Y，對於A⊂X，F(A)=∪F(x)|x∈A稱為A在F下的像，graph(F)=(x,y)∈X×Y|x∈X,y∈F(x)稱為F的圖象，任意給定Γ⊂X×Y，則由F(x)=y∈Y|(x，y)∈Γ(ᗄx∈X)可惟一確定集值映射F：X→2Y，使得graph(F)=Γ，由F(y)=x∈X|(x,y)∈graph(F)(ᗄy∈Y)定義的集值映射F：Y→2稱為F的逆映射。設有F：X→2Y，dom(F)=x∈X|F(x)≠∅稱為F的有效域，若ᗄx∈X有F(x)≠∅，則稱F具非空值，這時dom(F)=X，當Y是拓撲空間或賦范線性空間時，若ᗄx∈X,F(x)為閉集(相應地，緊集、凸集、有界集等)，則稱F具閉值(相應地，具緊值、凸值、有界值等)。
對於兩個集合，如果按照一個對應關係(規則)，使得對於 中的每一元素，都有 中的一個(幾個)確定的元素 與之對應，那麼我們把這個對應關係叫做集合 到集合 的單值(多值)映射，多值映射也稱“集值映射”。通常用 …等符號來代表映射，當 表示一個由集合 到集合 的映射，那麼記，或，對任意，對於任意集合，我們把集合 叫做的象，而對任何集合，我們把集合 叫做 的原象(逆象)。
定義1
對任意的 和任意 成立，那麼我們稱函數 為 上的凹函數。當不等式是嚴格不等式時，我們叫 為嚴格凹函數。
類似可定義凸函數。凹函數圖像如圖1。
圖1
定義2
對多值映射 序列，如果當 且 時有，那麼，我們說映射 是上半連續的。
當 為單值映射時，以上就是它的連續性定義。
定義3
若從 能夠推出存在 使得 則稱映射 為下半連續。
由定義得知，要證明映射的下半連續性，就要找出滿足定義條件的序列 來。
關於多值映射的線性組合，我們有如下定義。
定義4
假定有幾個映射 是上半連續的，是凸且有界閉的集合，那麼映射
叫做映射 的線性組合，並用記號。
假定集合 是凸，有界閉集，定必在 上的連續函數 關於 是凹的，那麼映射
是上半連續的，且集合是非空凸、閉集。
假定集合X與Y是凸、有界閉集，函數定義在 上，且對x與y分別是連續的，對y是凸的，如果存在，使得對所有 滿足。那麼映射 既是上半連續又是下半連續，並且集合是非空，凸且閉的。
假定連續函數定義在上，其中是凸，有界閉集，對y是凹的，並且多值映射是上半且下半連續的，集非空，對任意是凸的。那麼映射
是上半連續的，集合是非空，凸且有界閉的集合。
關於多值映射的線性組合，有如下結論。
上半連續映射的線性組合也是上半連續的。
下述的日本學者卡庫坦的多值映射不動點定理，在經濟數學中佔有重要地位。
假定是凸且有界閉的中的子集，映射是上半連續的，集合是非空凸集，那麼存在，使。