命題和判斷

傳統邏輯常把命題看成判斷的語言表達，忽略了命題與陳述句的區別；傳統邏輯也常把判斷當作命題，忽略了判斷與命題在認識上的區別。

命題是由詞項組成的，具體的命題包含各種各樣的詞項。有些詞項，比如"或者"、"並且"、"如果，則"、"並非"、"所有"、"有"等，常常是不同的具體命題所共有的。這樣的詞項稱為邏輯常項，它們並不指稱任何確定的事物。邏輯常項與其他詞項適當地搭配起來，就成為命題；這種搭配的方式或結構，就是命題形式。如在"2是偶數並且 3是奇數"和"2是正數並且-3是負數"中，都具有共同的邏輯常項"並且"，而"並且"在這兩例中都聯結兩個命題（在這裡叫做支命題）。這兩個例子的命題形式是"...並且..."。"..."表示空位，也可以用變項表示，可以代入具體命題。如果命題形式中的變項都代之以具體的值，就得到一個命題。在比較"2是偶數並且3是奇數"與"3是奇數並且2是偶數"時，就會發現它們不僅都具有常項"並且",而且前例中在前的支命題即是后例中在後的支命題，前例中在後的支命題即是后例中在前的支命題。為了表示這種形式上的聯繫，需要採用不同的變項或空位。如，前例的形式是"...並且×××"，后例的形式是"×××並且..."。在同一上下文中，相同的變項必須用相同的值代入。實際上，說"2是偶數並且3是奇數"和"2是正數並且-3是負數"具有共同的形式，只是說它們都是由兩個支命題通過常項"並且"(只出現一次）組成的。推理的前提和結論都是命題，而推理的有效性僅僅與前提和結論的形式有關。因此，形式邏輯關於命題形式的研究是構成推理理論的基礎。

亞里士多德對命題的分類

亞里士多德在《工具論》，特別是其中的《範疇篇》中，研究了命題的不同形式及其相互關係，根據形式的不同對命題的不同類型進行了分類。亞里士多德把命題首先分為簡單的和複合的兩類，但他對複合命題並沒有深入探討。他進而把簡單命題按質分為肯定的和否定的，按量分為全稱、特稱和不定的命題，例如，"愉快不是善"。他還提到個體命題，這相當於後來所謂的以專名為主項、以普遍概念為謂項的單稱命題。亞里士多德著重討論了後人以A、E、I、O為代表的4種命題。他所舉出的例子是："每個人是白的"；"沒有人是白的"；"有人是白的"；"並非每個人是白的"。關於模態命題，他討論了必然、不可能、可能和偶然這 4個模態詞。亞里士多德所說的模態，是指事件發生的必然性、可能性等。

亞里士多德以後的邏輯學家，如泰奧弗拉斯多、麥加拉學派和斯多阿學派的邏輯學家，以及中世紀的邏輯學家等，又對包含有命題聯結詞"或者"、"並且"、"如果，則"等的複合命題進行了不斷的探討，從而豐富了邏輯學關於命題的學說。

康德對判斷的分類

I.康德根據他的範疇理論對判斷作了分類。這個分類對後世的影響很大。康德對判斷的分類主要有4個方面：①量，包括全稱、特稱、單稱三種判斷；②質，包括肯定、否定、無限（所有S是非P）這幾種判斷；③關係，有直言（兩概念間的關係）、假言（兩判斷間的關係）、選言（若干判斷間的關係）判斷。④模態，有或（概）然、實然、確然幾種判斷。康德所謂的模態，是指認識的程度。他認為組成假言判斷、選言判斷的判斷，都是或然的。

傳統邏輯對命題的分類

19世紀下半葉歐洲邏輯讀本對命題的分類不盡一致。大體說來，按關係即按命題主謂項之間的關係分，有直言命題、假言命題（後件主謂項的聯繫以前件為條件）和選言命題（謂項之間對主項有選擇關係）。從質的角度分，有肯定命題和否定命題。從量的角度分，有全稱命題，包括單稱命題、普遍命題（凡S是P）和特稱命題。這些讀本還討論了其他一些關於數量多少的命題，如涉及"多數"、"少數"之類的命題；並認為，"多數 S是P"等值於"少數S不是P"，"少數 S是P"等值於"多數S不是P"。因此，從"所有S是P"推不出"多數S是P",也推不出"少數S是P"。這些傳統邏輯讀本在討論選言命題時，也往往論及聯言命題、分離命題（非A並且非B）等。另外，還有一類可解析命題也是常常提到的。在這類命題中，有一種叫區別命題，其形式為"只有S才是P"；還有一種叫除外命題，其形式為"除是M的S外每個S是P"。

現代邏輯對命題形式的分析 由於推理的有效性只與推理的前提和結論的形式有關，而與作為前提和結論的命題的具體內容無關。因此，在經典的二值邏輯里，命題可以只看成真（記為T）和假（記為F）兩種，並統稱為真值。它以p,q,...為命題變項，其變域為{T,F}。最基本的推理，僅僅與命題聯結詞有關。自然語言中最常見的命題聯結詞有："或者"、"並且"、"如果，則"、"並非"等，把這些聯結詞抽象為真值聯結詞，分別記為："∨",表示析取詞；"∧",表示合取詞；"→" ，表示蘊涵詞；"凮",表示等值詞，相當於"當且僅當"；"塡"，表示否定詞。真值聯結詞與命題變項的一定的組合，就是複合命題形式的抽象，它們實質上是一種真值函項。真值函項的域和值域都是 {T,F}，這些函項把一個或一組真值映射到一個並且只有一個真值上。這樣，分別由∨，∧，→，凮，塡這 5個真值聯結詞都可以用真值函項定義。聯結詞也可以在命題形式中多次出現，以構成較為複雜的形式。（見命題邏輯）

對命題形式的進一步分析，要深入到最簡單命題內部的非命題成分。在現代邏輯中，類似"蘇格拉底是人"這樣的命題，被認為是最簡單的命題。若以s代表"蘇格拉底",以M代表"人",該類命題就可記為M(s），這表示某一個體s具有性質R。推廣來說，最簡單的命題的形式為F(x），可讀作論域中的個體x具有性質F；較為複雜的形式可以有塡G(x,y）），可讀作論域中的個體x,y）之間具有關係G。在這裡，x,y),...稱為個體變項；F,G,...稱為謂詞變項，而F是一元的，G是二元的。n個個體變項之間有n元關係H就記為H(x,...,xn-1）。若以L代表"處在流動的狀態"，而"每個事物都處在流動的狀態"就可記為凬xL(x），這可讀為：對論域里所有個體x 而言，x 處在流動的狀態。其中，凬x 叫做全稱量詞，凬是全稱量詞符號。若以B 代表"尚未被人認識的"，則"至少有一個東西是尚未被人認識的"，可記為 ヨxB(x），讀作論域中至少有一個體 x，x 尚未被人認識。在這裡ヨx 是存在量詞，而ヨ是存在量詞符號。"不存在一個最大的實數"，可表示為 塡ヨy）凬x(y)>x），其論域為實數。"任意兩實數之間至少有一個實數"，可表示為凬x凬y）ヨz(x 謂詞邏輯對命題形式所作的初步分析（見謂詞邏輯）。此外，把量詞加之於謂詞變項，便形成了高階邏輯。也還可以引入模態詞，或分析疑問句、命令句等等，從而建立有關的邏輯理論。