線性相位

一個單一頻率的正弦信號通過一個系統，假設它通過這個系統的時間需要t，則這個信號的輸出相位落後原來信號的相位；反過來說，如果一個頻率為ω的正弦信號通過系統后，它的相位落後Δ，則該信號被延遲了的時間。在實際系統中，一個輸入信號可以分解為多個正弦信號的疊加，為了使得輸出信號不會產生相位失真，必須要求它所包含的這些正弦信號通過系統的時間是一樣的。因此每一個正弦信號的相位分別落後，。因此，落後的相位正比於頻率ω，如果超前，超前相位的大小也是正比於頻率ω。從系統的頻率響應來看，就是要求它的相頻特性是一條直線。

在FIR濾波器的設計中，為了得到線性相位的性質，通常利用實偶對稱序列的相頻特性為常數0和實奇對稱序列的相頻特性為常數90度的特點。因此得到的是對稱序列，不是因果序列，是不可實現系統，為了成為物理可實現系統，需要將它向右移動半個周期，這就造成了相移特性隨時間的變化，同時也是線性變化。

線性相位對圖像處理、視頻信號及數據信號的傳輸都具有非常重要的作用。

如果FIRDF的單位抽樣響應h(n)為實數，而且滿足偶對稱)，或滿足奇對稱，其對稱中心在處，可證明filter就具有嚴格的線性相位

即如果單位脈衝響應h(n)（為實數）具有偶對稱或奇對稱性，則FIR數字濾波器具有嚴格的線性相位特性。

在數字濾波器中，IIR數字濾波器方便簡單，但它相位的非線性，要求採用全通網路進行相位校正，且穩定性難以保障。FIR濾波器具有很好的線性相位特性，使得它越來越受到廣泛的重視。

在數字濾波器的設計和應用當中，經常能看到線性相位的身影，這裡舉兩個實例來說明。

第一個實例與音樂廳有關。就音樂廳來說，如果把舞台上音樂家的歌唱聲或樂器發出的聲響作為輸入，聽眾聽到的上述聲音作為輸出的話，那麼音樂廳可以建模成這個輸入輸出之間的一個系統。從直觀上就可以理解，最理想的情況是，輸出與輸入之間只有一個延時，也即是舞台上唱什麼歌，聽眾就能聽到什麼歌，只是時間上稍微有個滯后。從信號處理的角度看，音樂是由很多不同的頻率成分構成的。再回到線性相位的問題。如果音樂廳這個系統不是線性相位的，那麼此時音樂中有些頻率成分很快就從舞台上傳過來了，有些頻率則要過一陣才傳過來。線性相位在物理上的體現實質上就是不同頻率的信號經過系統后各頻率成分的延遲時間是一致的。這樣組合起來的音樂，先不論是否悅耳，至少和舞台上的已經不一樣了。這時候也就意味著坐在不同位置的聽眾，聽到的將是不同的音樂。這是人們不希望看到的。這種情況下，必須要求相位的線性性。

第二個例子是雷達。雷達最主要是應用在軍事領域，號稱“千里眼”。通常情況下，雷達發射脈衝信號，通過比較返回的脈衝信號與發射的脈衝信號之間的時間差來確定目標的距離。在最簡單的固定載頻的情況下，脈衝信號的頻率分量非常豐富，如果雷達系統的相位非線性的話，回波信號經過雷達系統后，各個頻率成分的延遲時間不一樣，在與發射信號比較時間差的時候，合成的回波信號與實際的回波信號其起始位置就很有可能不同，這樣測算出來的距離就不能真實反應目標與雷達之間的距離了。這也是要盡量避免的。這時候必須要求相位的線性性。

相位的線性與非線性對波形的影響差別很大。以方波為例，經過濾波以後，如果各次諧波的相位關係能盡量保持，那波形基本不失真，如果是非線性相位濾波器各諧波的相位關係是很難保持的，波形失真就嚴重。

FIR濾波器在滿足一定對稱條件下，可以實現ⅡR濾波器難以實現的線性相位。由於在數據通信、語音信號處理、圖像處理以及自適應處理等領域，往往要求信號在傳輸過程不能有明顯的相位失真，因而FIR濾波器獲得了廣泛應用。FIR濾波器的設計過程，其核心是求出有限長的脈衝響應來逼近給定的頻響。常用的設計方法有窗口法與頻率取樣法。

為了保證信號的無失真傳輸，通信系統的信號通道在工作頻帶內應該具有平坦的幅度特性和線性的相位特性。因此，在濾波器設計時，不僅要滿足幅度選擇特性，還要滿足線性群時延的要求。

幅頻特性為:有限長脈衝響應序列h(n ) 滿足下下列關係:

顯然幅頻特性是有限長傅里葉級數, ω為待定傅里葉係數, 只要求得ω序列，即可得到有限長脈衝響應序列： ，從而設計出符合指標要求的FI R 線性相濾波器。