酉運算元

酉運算元具有逆運算元，其逆運算元也是一種酉運算元，且酉運算元和其逆運算元是一對共軛運算元。酉變換是泛函分析和運算元理論中的一個重要概念，傅里葉變換就是酉變換之一例。

設 ，若滿足：

（1）是等距的，即對任意 ，都有 ；

（2） 是滿射。

則稱為酉運算元。

設 ，則為酉運算元等價於：

（1） 是滿射且對任意 ；

（2），即。

證明：

（1）充分性顯然成立，下面證明必要性。

設為 酉運算元，即 是滿射且等距的，對任意 ，由極化恆等式得到下述等式：

當是實空間時，有：

當是復空間時，有：

故有 。

（2）首先來證必要性。

設 為酉運算元，由（1）得 ，對任意的，有： ，

所以得： ；

故有 ： 。

因此是 單射，

下面來證充分性。

由等式 為滿射 ，且對 ，有：

故為酉運算元。證畢。

設 為酉運算元，則 ，即酉運算元的譜都在單位圓上。

酉運算元的等價形式

在複變函數中，保角映射在理論和應用上都十分重要，而具有保角性和伸縮率不變性的映射即為保角映射，將此概念推廣到無窮維空間，特給出如下定義：

設為線性運算元，

（1）若運算元 滿足，則稱運算元為保角運算元；

（2）若運算元 滿足，則稱運算元為相似運算元；

(3）若運算元 滿足，則稱運算元為第一型保正交運算元；

（4）若運算元 滿足，則稱運算元為第二型保正交運算元；

（5）若運算元 滿足，則稱運算元為正交不變運算元；

（6）若運算元 滿足，則稱運算元為酉運算元，或保內積運算元。

設為Hilbert空間， 為由到的線性運算元，則關於運算元的如下六個命題為等價命題：

（1） 為保角運算元；

（2） 為相似運算元；

（3） 為第一型保正交運算元；

（4） 為第二型保正交運算元；

（5） 為正交不變運算元；

（6） 為酉運算元。