共軛函數
共軛函數
對於周期為2π的勒貝格可積函數 ƒ(x)（以下記為ƒ∈l1(-π ,π)），積分。共軛函數的概念和單位圓內解析函數的理論有密切關係。，這是著名的里斯定理。】的許多性質，可以藉助於圓內解析函數的理論來推導。這種方法稱為傅里葉分析中的複變函數論方法。
目錄
對於周期為 2
的勒貝格可積函數
(
)（以下記為
∈
(-
,
)），積分
幾乎處處存在。函數愝(
)稱為
(
)的共軛函數。愝(
)未必屬於
(-
,
),例如
是某個
∈
(-
,
)的傅里葉級數，但
的共軛函數
log
卻不屬於
(-
,
)。然而，當
∈
(
>1)時，有
，就是說，愝∈
，這是著名的里斯定理。
共軛函數的概念和單位圓內解析函數的理論有密切關係。假設
(2)
是
∈
(-π,π)的傅里葉級數，記為σ【
】。置с
=
-i
，那麼級數(2)就是冪級數
(3)
在單位圓周
=e(0≤
≤2π)上的實部。它的虛部
(4)
就是
的共軛級數，記為σ【
】。在一定條件下，它是共軛函數愝(
)的傅里葉級數。共軛函數的性質與傅里葉級數σ【
】的收斂性有密切關係。
以冪級數(3)為橋樑，傅里葉級數σ【
】的許多性質，可以藉助於圓內解析函數的理論來推導。這是因為級數(3)在單位圓內是一個解析函數
(
),而解析函數是強有力的理論工具，
(
)與愝(
)的許多深刻的性質便可以通過對
(
)的研究得出。這種方法稱為傅里葉分析中的複變函數論方法。例如積分(1)的存在性，以及上述里斯定理的證明都是通過這種方法得到的，它對傅里葉級數理論的發展有著重要意義。
基本信息
- 外文名
- conjugate function
- 相關人物
- 勒讓德、芬切爾等
- 相關概念
- 勒讓德變換、對偶變換等