大範圍變分法

用拓撲方法研究變分問題的數學分支。古典的變分法研究泛函的極值──極大值或極小值。然而物理、幾何以及分析中提出的變分問題，一般不僅要研究泛函的極值點，而且還要研究其臨界點，即其變分為零的點。大範圍變分法 假設M是一個微分流形，ƒ是M上的光滑函數，所謂一點p∈M是ƒ的臨界點，是指ƒ的導映射dƒ在這點為零。ƒ在臨界點處的值，稱為臨界值。對任意實數α,稱為函數ƒ的水平集。大範圍變分法的基本手法是通過考察拓撲空間隨α變化時，其拓撲結構的變化，來判定臨界點的存在性和估計臨界點的個數。下面是一個有啟發性的例子。考察切於平面π的一個環面M,如圖所示。

設是關於平面π的高度，易見：①當時，,②當時，，如圖之a，③當時,如圖之b,④當時, 如圖之c,⑤當時， 如圖之d，⑥當時，，如圖之e。其中，連同極小值0,都是ƒ的臨界值。這個例子表明：若在實數α,b()之間沒有ƒ的臨界值，則 與是同胚的, 但當α越過ƒ的一個臨界值時，一般地，的拓撲結構將發生變化。這就是大範圍變分法的基本出發點。

H.M.莫爾斯考察了非退化函數的臨界點的性態與緊流形M本身的拓撲結構間的聯繫。函數ƒ稱為是非退化的，是指在它的所有臨界點上，對應的由二階導數構成的黑塞矩陣 ()都是非退化的。對應的黑塞矩陣的負本徵空間的維數，稱為這臨界點的莫爾斯指數。用Mk表示函數ƒ的莫爾斯指數為k的臨界點的個數。莫爾斯理論的核心是下列莫爾斯不等式：

式中是流形M的貝蒂數。應用這組不等式於上例，因為環面有貝蒂數,所以得出：ƒ至少有4個不同的臨界點。

基於類似的基本思想,Л.Α.柳斯捷爾尼克、Л.Γ.施尼雷爾曼開闢了另一條估計臨界點個數的途徑。對M上任意閉子集A,稱A在M中的疇數為m,記作,是指A可以被m個可縮閉集所覆蓋，但不能被個這樣的集合覆蓋。疇數是一個拓撲不變數。為估計緊流形M上的函數ƒ的臨界點個數有下界Cat(M)，柳斯捷爾尼克、施尼雷爾曼引進了下述重數定理：設則當時，ƒ的以с為臨界值的臨界點集有疇數。上例中的環面的疇數是3,所以環面上的任意函數至少有3個不同的臨界點。柳斯捷爾尼克-施尼雷爾曼理論較莫爾斯理論適用範圍寬，例如，函數ƒ不必是非退化的；但疇數的估計比較困難。

R.S.帕萊斯和S.斯梅爾把莫爾斯理論及柳斯捷爾尼克-施尼雷爾曼理論中流形M的緊性條件去掉，代之以在函數ƒ上添加帕萊斯-斯梅爾條件，即對於M上的任意點列,條件有界，連同，蘊涵了有子列收斂。

莫爾斯理論以及柳斯捷爾尼克－施尼雷爾曼理論都被成功地應用到許多變分問題中去，特別是應用於研究黎曼流形上的閉測地線的個數，以及楊-米爾斯方程。

A.阿姆布羅塞蒂、P.H.拉賓諾維茨發展了柳斯捷爾尼克-施尼雷爾曼的思想，提出了山路引理：設ƒ是巴拿赫空間X上的一個滿足帕萊斯-斯梅爾條件的函數，又設有θ的一個開鄰域U和一點,使得，且，則ƒ至少有一個臨界值。隨後拉賓諾維茨又提出一系列極小極大原理。對許多由方程引出的變分問題的解的存在性以及個數估計有廣泛的應用。特別是對哈密頓方程組周期解的存在性以及周期軌道個數的估計引出重要的結果。

參考書目

R. Bott,Morse Theory,Old and New,BAMS,1981.

W. Klingenberg,Lectures on Closed Geodesics,Springer Verlag, Berlin,1978.

J. Milnor,Morse Theory, Princeton Univ. Press,Princeton,1963.

M. Morse,The calculus of Variations in the large,American Math. Soc. Colloq.Pub.,New York,1934.